ALLEATI E NEMICI
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   cioè un opinione affatto coincidente con quella che il Mill si è data la pena di confutare a lungo ed accuratamente in uno dei più importanti capitoli della sua Logica (Lib. I, cap. 8, §. 5). 11 Poincaré si è forse fidato troppo di qualche citazione di seconda mano. E da sperare che non abbia fatto lo stesso anche per Kant.
   Venendo a parlare (I, pag. 833) delle cosidette « definizioni per mezzo di postulati », e in particolare di quella di « numero » data dal Peano nei suoi Arithmetices principia (1888) — dopo aver ammesso che l'assenza, in tali definizioni, di contraddizioni implicite può essere accertata mediante il noto metodo di costruire esempi particolari che soddisfino contemporaneamente a tutte le condizioni espresse dai postulati che concorrono a costituirle — il Poincaré nega che questo metodo sia applicabile al caso della definizione suddetta di numero, e ciò per la strana ragione « qu'il est impossible de demontrer les axio-mes pour quelque nombre entier sans les demontrer pour tous ».
   La ragione vera o, per parlare più esattamente, il motivo vero di un tale acrobatismo logico, non è difficile a esser scoperto da chi abbia tenuto dietro, con qualche attenzione, allo svolgersi della inquietante attività filosofica del Poincaré in questi ultimi anni. A lui è capitato qualche cosa di simile a ciò che avviene talvolta ai ragazzi che per essersi lasciati sfuggire una piccola bugia, si vedono poi costretti a fabbricarne, a gran studio, altre sempre più grosse e complicate per evitare la vergogna di dover confessare la prima.
   Egli ha commesso una volta l'imprudenza di affermare che la differenza caratteristica tra le dimostrazioni matematiche e i ragionamenti che egli chiama semplicemente « logici » (cioè riducibili agli schemi della logica tradizionale scolastica), sta in ciò che, nei primi, è fatto uso del « principio d'induzione completa ». Pur riconoscendo ora, come s' è visto sopra, che accanto a questo principio — da lui qualificato come « necessaire au mathématicien et irreductible à la logique » — ve ne sono altri di cui lo stesso si può dire, il Poincaré non vuole almeno rinunciare a conservare al « principio d'induzione completa » una posizione di favore, almeno nel campo dell'aritmetica.
   Ed egli crede di poter riuscire a tal fine facendo vedere che l'assenza di contraddizioni implicite nei principi dell'aritmetica non può essere dimostrata per mezzo di esempi, ma solo col « prendere le conseguenze » (pag. 833) che da tali principi derivano e constatare che tra esse non ve ne sono di quelle che si contraddicano tra taro. Ora, osserva il Poincaré, se queste conseguenze fossero in numero finito la cosa sarebbe facile. « Mais elles sont en nombre