ancora delle equazioni e delle inequazioni. 341
   Il primo membro di quest'identità, che indicheremo con R, esprime la relazione cui debbono soddisfare (119, e) i coefficienti delle date equazioni, quando queste abbiano una radice comune; e dicesi eliminante delle due equazioni, perchè in vero R = 0, che risulta anche uguagliando le radici (114, 4)) delle due equazioni, può considerarsi come il risultato dell'eliminazione di x da f(x) ed fi{x), nell'ipotesi che queste sieno identicamente zero, e rappresenta quindi la condizione di esistenza di un valore della x capace d'annullare le due funzioni.
   Dividendo f(x) per fi[x) ed indicando, secondo il solito, con q il quoziente incompleto e con r (x) il resto, si ha f(x) -
   = ~-q.fi (.v) -h r{co), ove r [x) = + [c  ^j^
    ~ [(«iè  ) x + (atc  - «Ci)]. Ora, se x è una radice comune ad f ed fi, si avrà f(x') = /i(x') = 0 identicamente e quindi anche r{x') = 0, ossia  [(¿»ai  ah) x' + (cai  a^i)] = = 0: dunque (109), la radice comune sarà x' = 
   Sostituendo questo valore per la x in f{x), si ritroverebbe l'eliminante prima ricavato.
   La radice comune sarà zero, se aci  aie = 0, ossia  =  ;
   «1 Ci
   l ir, a b ', , b h
   e oo, se abi  axb  0, ossia  = -¡- , donde  =  5 .
   (il Vi aa aai
   Quando poi simultaneamente ahi  aib = 0, aci  axc = 0, la
   radice comune assume la forma 77 ; ed in vero allora  =
   b c ai
   = y- =  , ossia a  aip, b = ¿ip, c = Cip, per cui la seconda
   equazione è conseguenza della prima e le due equazioni hanno
   le stesse radici. Si vede anzi subito che  = -j- =  è con-
   ffl Ih Ci
   dizione necessaria, perchè f[x) = 0 ed fi{x) = 0 abbiano le
   stesse radici: infatti, verificandosi ciò, si ha   ---- e
   ' a ai
   e ci , . a b e
    =  , donde appunto  = t~ =  a ai 1 " «i bi ci
   L'eliminante R può anche ottenersi considerando che, se f(x) = 0 ed fi (x) = 0 posseggono una radice comune, f(x) ed fi (x) avranno un fattore comune, che è il massimo comun divisore di f {x) ed fi (x) : allora,