1 funzioni di variabili Beali. 99
   di due potenze dello stesso grado non è mai divisibile per la differenza delle basi, ed è divisibile per la somma di queste solo quando gli esponenti sono dispari.
   b) Le cose esposte nel n. 72 sussistono anche quando i coefficienti delle potenze di x in f (x) sieno espressioni costanti. Così, data f (x) = = x3  (»» + n + p) x2 + (mn + mp -f- np) x  mnp, considerando i divisori m, n, p del termine di grado zero, si ha (72, c))i
    mnp mn + mp + np np ,  (m+n +p) + n +» , -= -£--il-ÌL^n+p -!-r,-=  1;
   m m m
   quindi f(x) è divisibile per x  m. Analogamente si verifica per n e p; ovvero, dividendo f (x) per x  m, la quale operazione per i risultati superiori dà il quoziente x3  (>» + p) x + np, si trova per questo come
   prima - = 1: donde risulta il quoziente x  p
   di x2  (» + p) x + np per x  n, e quindi identicamente x2  (n -hp) x + + np = (x n) (x  p) (in conformità col n. 67, 5°). Per conseguenza, x3  {m -(- » + p) x2 + [mn + mp + np) x  mnp  (x  m) [x  n) (x  p), come si era dimostrato (66, 4°.) ) : i teoremi e^. jsti sulla divisibilità delle funzioni (69, 72) possono dunque giovare anche per la verifica delle identità.
   c) Dividendo xm  am per xa  au , si trova che i'Am0 resto parziale è alma;m-lm  am: perchè xm  am sia divisibile per xu  aa , dovrà essere identicamente (47) aha «m=0. Facendo in questa identità x  1, si ha poi (55, a) e ¿)) ah°-m = l; quindi hn  m identicamente zero, e perciò (55, a) e &)) 7ì =  : si sarebbe ottenuto lo
   ti
   stesso risultato per a = 1. Dunque, xm am è divisibile per xn  a' , quando m è divisibile per n.
   Analogamente si dimostra cho xm  am è divisibile per x' + a' , quando m è multiplo pari di n ; che xm + a'' è divisibile per x' + an , quando m è un multiplo dispari di n ; e che xm + am non è mai divisibile per x'  a' (x).
   d) Quando sia data una espressione contenente più lettere, considerandola successivamente rispetto ad alcune di queste si può, mediante i teoremi 70 e 71 (comma 2°), verificare se è divisibile per binomi lineari nelle stesse lettere. Ad es., data xm ya + ym z' + % zm xn  xn ym 
    ijn zm "  za xm, se la si considera come una funzione f(x) di x, ve-desi che è divisibile per x  y e per x  z, perchè f(y) = f/ra+n+ 2' + -j- zmya  yn+m yn zm  z' ym = Q e così f(z)  0 ; e se invece la si considera come una funzione tp (y), di y, si trova cp (z) identicamente 0, per cui cp ('/) è divisibile per y  z: dunque, l'espressione proposta è divisibile per [x  y) [x  z) (y  z).
   (1) F. I. C. Exer. d'Alg., pag. 514-515.