1 funzioni di variabili beali. 93
   tutte le k sono disuguali, è necessario e sufficiente che f =
   = f =____= fi y) = Infatti, se f(x) è divisibile per
   il detto prodotto, il cui grado in x evidentemente è s (47),
   avremo f (x)  {fax  fa) (fax  fa).....(fax  k,). q (x),
   quando ii quoziente di f(x) per (fax  fa) .... (h x k, ) si indichi con q (a;) ; la quale funzione, come è noto, sarà razionale intera di grado m  s. Ora, il secondo membro della precedente identità è eguale a zero, semprechè si dia alla x
   k k k ciascuno dei valori (finiti) ~, -A,_____ , poiché nessuno
   ìli tia /iB
   di questi può rendere q{x) destituita di significato; quindi, anche il primo membro della stessa identità diverrà eguale
   a zero per ciascuno dei detti valori, cioè f j ' j = 0, f(j^J =0,
   _____ f = e le condizioni esposte sono necessarie. Se
   poi queste condizioni si suppongono verificate, sarà f(x) divisibile per fax fa (comma 2° di questo numero); e, per conseguenza, identicamente f(x) = {fax  fa) .q (x), indicando con q(x) il quoziente della divisione di f(x) per fax  fa. Se
   si pone nell'ultima identità, poiché f (^j=0 per ipo-
   tesi, mentre il primo fattore del secondo membro non diviene eguale a 0, sarà q = 0; e quindi (comma 2° cit.) q (x) divisibile per 7ia X  * ? cioè q (x) = (fax  fa), qx (x), indicando con qi (x) il quoziente della divisione di q(x) per fax  fa. Perciò la f(x) = (fax  fa). q (x) diviene, fatta la sostituzione (61), f(x) = (fax  fa) {fax  fa)  % qi(x). Ora è chiaro il procedimento per dimostrare, sino all'smo fattore, che la condizione è. sufficiente.
   Pertanto, se non esistono valori reali della x, che facciano assumere ad f(x) il valore 0, non esisterà neanche alcun divisore lineare reale di f(x).
   Esempi,  1°. f(x) = a6x'° + y'ù è divisibile per ax + y, perchè
   2*. f{a) = _ 12ab2 + 2W;f (y j = 49 - 72yb* + 2W = 0 ; quindi f(a) è divisibile per la  3Ì>.