86
   - capitolo ii.
   soddisfare alle condizioni volute dal n. 65, si potranno far apparire i due membri come funzioni non identiche ed anche aventi gradi diversi. Ma, siccome con gli stessi teoremi e con opportune riduzioni si può in questo caso ristabilire l'identità nella prima forma, così in generale, data un' identità intera, si potrà rendere un membro identico all'altro (dimostrare o verificare l'identità): a) trasformando un membro mediante le note operazioni e proprietà del calcolo algebrico (') ; ovvero b) trasformando ciascuno dei due membri, successivamente o contemporaneamente, anche coll'applicazione dei principi 48 a), b), h) e k), sino ad ottenere da quelli funzioni identiche ; od anche c) partendo, viceversa, da un'identità evidente o nota, per giungere alla data (che è quindi conseguenza dell'altra, mentre può anche ritenersi l'inverso per 6))  od infine d) combinando identità evidenti o note, in virtù dei teoremi 55 c), e) e g).
   Es. 1». '+ f  %=. f (x2 4 f + xy) (volume del
   tronco di cono (2)) è un'identità, perchè trasformando il 1° membro si ha subito il secondo. Così è stata dimostrata la maggior parte delle identità, che traducono teoremi di Aritmetica Generale: ad es., quelli per il calcolo delle potenze intere positive e le loro estensioni alle potenze intere negative ed alle frazionarie (3).
   2°. Dimostrare l'identità (a + b + c)2 = 3 (a2 + b2 + b2)  (a  6)2   (a  c)2  (6  c)2. Dal primo membro si ha a2 4 b2 4 c2 + 2 ab + 4- 2 ac + 2 bc ; e dal secondo successivamente : Sa2 + 3fe2 4- 3c2  a2 4. + 2 ab  b2  a2 + 2ac  c2  b2 4 2 bc  c2 = a2 + b2 + cs + 2 ab + 4- 2ac +2 bc.
   3°. (a ± bf = a4 ± ia'b + 6a2 b2 ± 4ab3 4 bl è un' identità ; perchè dall'identità nota (a ± b)2 = a2 ± 2ab + b'\ innalzando al quadrato (51 h) ), si ha (a ± 6}4 = a4 + 4a2 b2 4 b4- ± 4a'db 4 2a2 V ± 4o68; ed infine, riducendo ed ordinando, la proposta.
   4°. x3  (m + n + p) x2 + (mn 4- mp 4- np) x  j ìnnp  .(x  m) (x  n) (x  p). Si può dimostrare elfettuando le operazioni indicate nel 1° membro e raccogliendo prima i fattori x e p e poi a;2  mx  nx -t- mn ; ovvero, facendo tutti gli sviluppi indicati nei due membri, per cui questi si presentano come funzioni identiche.
   5°. (a 4- b + c 4 d)2 4 («  b  c 4 d)2 4 (a  b 4- c  d)2 4 (a + 4 b  c  d)2 = 4 (a2 -f- b2 4 c2 4 d)2. Si applica la nota formola, che
   (!) Sviluppi di parentesi, riduzione di termini simili, raccoglimento di fattore co. mune, effettuazione di quozienti e potenze, ecc. P) Baltzek, Stereometria, § 9, n. 6.
   (3) Baltzer, Aritmetica Generale, § 17 e § 18, n. 6.