1 funzioni di variabili Beali. 81
Esempi:
1°. È noto (58 a)) che la somma g dei termini di una progressione aritmetica, arrestata ad ui ed m ,
,.,,, , (ttl + Mn)»i
è data dalla formola-^-; ma
= Mi + (n 1) d : quindi, sosti-
, . . 2mi +(n \)d tuendo, si avra s =-s-n.
2°. È noto (58 b)) che la somma s dei termini di una progressione geometrica, arrestata ad mi ed ua, è
data dalla formola - -1 ; ma
2 1
Un vi qn~x : quindi, sostituendo, q' 1
= «i
2-1
.3°. Data f (x) = ax4 + bx% + ex2 + dx + e, se si fa la posizione ¡f.e&x h, si ha (sostituendo, effettuando le operazioni ed ordinando ^
rispetto alle potenzi /iecrescenti di x) ax4 4 (4ah* + b) x% + (6afe2 + 3bh -f c) x2 4- (4ah3 4 3Wì2 + 2eh 4 d)x + f (h) ; ovvero (ordinando rispetto alle potenze crescenti di h), f («) + h (4 axz 4- 3 te2 4 2 ex + d) +
+ ^{Ì2ax2 + Pjbx 4- 2c)4^ (24ax + 66) 4 \ . 24a (caso partico-
lare di una formola importante dovuta a Taylor).
62. li praofo di una funzione (intera) non cambia per una sostituzione lineare.
Dimostreremo il teorema per le funzioni lineari e quadratiche: anzi ci limiteremo, per le prime, al caso di tre variabili e, per le altre, al caso di due variabili ; ma la dimostrazione procede analogamente, qualunque sia il numero delle variabili.
Data f{x, y,z) = ax 4 by 4- cz 4 d , se si pone x = mu 4-+ nv 4 pw 4 q, y = »h u 4 nxv 4 piW + qt ,z m2u -f n2 v 4-+ p,w + q,, la f(x, y, z) diviene F (u,v, w) = (am 4 bmt 4 cms) u 4 («m 4 bnx 4- cn ) v 4 [ap 4- bpt 4 cp,)w 4 {aq 4 bqx 4 cqt 4 d), che è di primo grado in u, v, io.
Se f (x, y) = ax* 4 by1 4- cxy 4 dx 4 ey 4 f, ponendo x = = mu 4 nv + p, y mxu 4 niv 4 pi, si ha (sostituendo, effettuando le operazioni ed ordinando) F(u,v) (amì+ bmlì + 4- «wj u*- 4 (an- 4 bti, -f cnnj v% 4- [2amn 4 2bminl -f 4- «¡(wm^jM,«)] uv 4 [2amp+2bmipl 4 c{mpl 4 n^p) 4 dm + 4- emL] u 4- [2anp 4 2bn,pt + c (inpi 4 nl p) + dn 4 en%] v 4 + fiPiPi), che è una funzione di secondo grado delle nuove variabili u e v.
Una funzione intera di grado m diviene di grado m. 2, quando si faccia una sostituzione quadratica. ,. Rimostreremo il teorema per le funzioni lineari e quadratiche, limitandoci anzi al caso di una variabile; ma la dimo-
Oetu-Casbos,, I Compi. dell'Algebra eie,ne,,tare ecc. - 6
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