78 - capitolo ii.
   5) Inoltre, per la somma s = mi + m + ... -f mn-i -f un dei termini di una progressione geometrica arrestata ad Mi ed u , poiché, per il teorema 55 b) e per la formola (1 n. 41, successivamente qs  ui q + u2 q + ... . + Mn-i 2  %+ m q , qs = u% + us + ....+ Un + un q , si ha (55 c) )
   (q  1) s  Un q  Mi ; e quindi (55 6) ) $ = U'^  %
   c) Esempi.  1°. Data la funzione lineare (47) y  ax b , se i valori di x costituiscono un gruppo in progressione aritmetica, anche quelli di y sono in progressione aritmetica; perchè ym-ti  ym = (axm+i + b)  (axm + b)  a (xm+i  xm) = cost. per l'ipotesi.
   h=n-l n 1
   2°. Indicando con 2 (4fc + IH1) od anche con 2 (Ah + 1) la somma " h=0 0 dei primi n numeri positivi della forma Ah + 1, che si ottengono dando
   n-1
   ad h successivamente i valori 0, 1,..., n  1, si ha (a) : 2 (Ah + 1)
   0
   {l + [A(n  1) + l]}n (An  2)n
   = -^-=-2-=«(2» 1).
   h=n 1
   3°. Calcolare 2 a:h : essendo x la ragione della progressione, si ha (6) h=0
   b' '-1. ®h_1 X  l Xh- 1
   2 Xh
   X 1 X 1
   h=9 h=9 1 (1  «)9
   4 -;' JL (T^?=w-r
    1
   1  n
   1  (1 n)10
   (l n)1' 1  (1 == m  ;--= m
   1  1 +n n( 1 w)9
   l n
   59. a) Se si ha l'identità m + ^pn  m'+ y«' (ove i radicali si considerano aritmetici, m, n, to', n' sono numeri razionali ed inoltre a. ed n' non sono quadrati perfetti), dovrà aversi identicamente m  to', r-^n'. Infatti, si ricava (55 a)) m  to' -+- }jn  fi?, da cui (m  to')2 4- n + 2 (m  to') Yn  n', e quindi 2 (m  to') ]/n  (n' n)  (m to')2: poiché il primo membro è irrazionale ed il secondo razionale, quest'identità sussisterà solo quando si abbia identicamente 2 (to  m')  0 , ossia {poiché n non è zero) quando (55 b) ) m  to' = 0. Adunque, deve essere m  m'; per conseguenza- n  n = 0, cioè n  n'.
   b) Se sussiste l'identità ^ m + yn= :fm7+ }'n , ove per m, n, to' ed n si conservano le condizioni del comma precedente, sussiste anche
   (!) Il segno 2 chiamasi sommatoria.