1 funzioni di variabili Beali.
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f) Se a b> 0, sarà anche (55 7»)) :«2 2 ab + ir > 0; quindi (55, a) )
a2-f 2 ab -f J2 > 4 ai, da cui (55 6) ) b
a2+ 2ab+ b2
-> ai, cioè
>ab;
ed infine (55k)) > ab. Adunque: la media geometrica di due numeri è minore della media aritmetica.
g) Evidentemente a + 6 2 Yab
<
<Ìa + -fb.
58. a) Dato un gruppo in progressione aritmetica-r...«i, in,-.., Un , % % %, i due termini wm ed Un m-fl equidistano rispettivamente da ui ed Un (per m li, -ementi) : ora, dietro formole note del n. 41 (h= m 11), um == Mi + (m 1) Wn-m+1 = Un {m 1) d; e quindi (55 C) ) Um+ Mn-mf 1 = «1 h Un . A-dunque, in una progressione aritmetica la somma di due termini, posti fra due termini qualunque ui ed Un ed equidistanti da questi, è costantemente eguale alla somma
Mi + Un %
Segue che, se una progressione aritmetica è arrestata a sinistra ed a dritta rispettivamente da ui ed Un , per la somma s di tutti i termini S=wi + m2 + ... + Un l + Un ossia S Un Un-1 + .'.'+ «2 + Ul ,
essendo (55 c)) 2s = (mi + ua) + 1
(«2 + Mn_i) + ... + {ila-1 + w2) +
2 n -1
(Wn + Mi ), si avrà, dietro il teorema
= («1 + w ) + 1
(«1 + Mn) +
n 1
(«1 4- Un )n
ora dimostrato, 2s - %
(«1 + Un) +,....+
2 '
( («i -f ua) ; e quindi s
1 53
<55 d) ).
Pertanto, s si può esprimere in funzione (51) del primo termine, dell ultimo e del numero dei termini:
58. a) Dato un gruppo in progressione geometrica -H-... mi , «2, .,,, i due termini «m ed
M _m4.i equidistano rispettivamente da mi ed m (per m 1 elementi) : ora, dietro formole note del n. 41
(h=m-1), t(m Ul qm~L ,Mn-in+l =
= equindi (59 e) ) um Mn-m+i =
mi uu . Adunque, in una progressione geometrica, il prodotto di due termini, posti fra due termini qualun-, que mi ed mn ed equidistanti da questi, è costantemente uguale al prodotto mi Un %
Segue che, se una progressione geometrica è arrestata a sinistra ed a dritta rispettivamente da Mi ed Un, per il prodotto^) di tutti i termini p=Ul m2 . . . Mn 1 Mn , OSSÌa p Un Un i... M2 Mi, essendo (59 e))
P2 = (Mi Un) (m2 Mn 1 ) . . . (m Mi) , SÌ 12 11
avrà, dietro il teorema ora dimostrato, p1 (Mi Mn) (Ul Un)... (ui Un);
e quindi (59 k)) p = yivi « )' .
Pertanto, p si può esprimere in funzione del primo termine, dell' ultimo e del numero dei termini.