76 - capitolo ii.
   I h sono numeri reali qualunque ma finiti : possono essere anche, in parte, uguali a 0, ciò che equivale a combinare soltanto alcune delle frazioni.
   , c «1 ttì
   Analogamente si dimostra che
   «1 + 02 ' +-----+ On _ «n 
    - <.  . Per Confo + bì +....+ On On
   seguenza:
   Oi 01 -r < _
   ii bi + bi + .... + 6
   .... + On On
   < r >
   cioè:
   Se più frazioni (quozienti), che hanno i denominatori positivi, formano una limitazione continua crescente, la somma dei numeratori divisa per la somma dei denominatóri dà una frazióne compresa fra la più grande è la più piccola delle frazioni date.
   Oh . , . =  , si ha :
   Oh
   
   ÌK + K
   + K
   Oh ' bh
   d) Se  - =  , per cui i quattro numeri ai, o2, ai, «4 costi-
   «2-«4 04
   tuiscono una proporzione armonica (39), si ha anche: 04 (ai  03) = 01 (02  04), da cui (55) 2 01 04 = «1 02 + 03 04 ed anche (dividendo per il prodotto
   112
   oi«2 O3O4 (55,6)):--1--=- "
   ai aa a3 04 02 03 )
   Se, in particolare, 02 è la media armonica di a 1 ed 03, dalla penultima identità si ricava 01 02 + 02 03 «= 2oi 03, cioè 02 (oi + 03) = 2oi 03;
   donde a2  - , che si scrive pure ai   - : queste rela-
   02+ 03 '
   zioni si potevano anche dedurre dalla
   Ìfl + Iì
   2 V«i 03/
   Ol 02
   01 «3
   In generale, il numero yyy
   dio armonico degli n
   2 \oi 02 o ;
   si suole chiamare me-
   \Ol 02 numeri ai, 02,.
   , o .
   e) Se a < b, si ha (55 a)) la < a 4- b, da cui (55 &)) o <
   a + b
   ed
   analogamente a + b < 2b, donde < b . Si ha quindi la limitazione
   a 4- b
   '' <  g ^ & > che si traduce nel teorema : la semisomma di due numeri algebrici è sempre compresa fra questi due numeri.