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   - capitolo ii.
   Esempi.  1°. In un triangolo ABC ('), se il lato AC rimane fisso ed il vertice opposto B percorre la AB, il lato AB cresce, quando B si allontana da A, e diminuisce, quando B si avvicina ad A. L'area ABC allora varia evidentemente anch'essa, crescendo o decrescendo al crescere ed al decrescere di AB ; e ad ogni stato di AB corrisponde uno stato dell'area ABC.
   Adunque, nelle ipotesi fatte, la grandezza area ABC è una funzione della grandezza segmento AB, variabile indipendente; e la legge di dipendenza fra la funzione e la variabile è appunto quella di proporzionalità diretta, come c'insegna la Geometria.
   Inoltre, variando AB, varia anche l'angolo ACB, crescendo o diminuendo con AB, e ad ogni stato di AB corrispónde uno stato dell'angolo ACB : la determinazione della legge di dipendenza, fra la funzione angolo ACB e la variabile AB, è compito della Trigonometria, la quale trova un'espressione per l'angolo ACB, ove figurano le due costanti lato AC ed angolo BAC e la variabile AB. Ora, mentre varia l'angolo ACB, varia necessariamente l'angolo CBA, decrescendo o crescendo al crescere od al decrescere di ACB; quindi CBA è una funzione di ACB, cioè una funzione di funzione della variabile indipendente 1B, e la legge che esprime quella dipendenza è: l'angolo CBA è differenza fra due retti e la somma dei due angoli BAC ed ACB, dei quali il primo è costante.
   'Ma se, mentre B si muove sulla AB, anche C si muovesse, ad es. percorrendo l'altezza, e quindi questa variasse; se, cioè, la base AB e l'altezza CD variassero entrambe: ad ogni stato di CD corrisponde-rebbey come nell'esempio precedente, una successione di stati diversi ^¿r l'area ABC (47), ossia a coppie differenti di stati delle grandezze AB e CD corrisponderebbero stati diversi dell'area ABC. Pertanto, in questo caso, l'area ABC sarebbe una funzione delle due variabili indipendenti AB e CD. Dicasi lo stesso per l'angolo CBA.
   2°. Lo spazio, che un mobile percorre, ad es. con moto uniformemente vario, varia al variare dell'accelerazione (o della ritardazione) e del tempo; e, quando sia data l'accelerazione (o la ritardazione), varia al variare del tempo. Adunque, lo spazio è una funzione dell'accelerazione (o della ritardazione) e del tempo; ovvero, se l'accelerazione (o la ritardazione) è costante, lo spazio è una funzione del tempo.
   Passando dalle grandezze concrete, spazio, accelerazione (o ritardazione) e tempo ai numeri s, -f a (o  a) e t, che le misurano, si dimostra in Meccanica che, se un mobile va da una posizione Mo, ove aveva la velocità ®o, alla posizione M con moto uniformemente vario di accelerazione 4- a (o ritardazione  a), lo spazio M0M = s è espresso da:
   fot + -r- (± a) i2, contando il tempo a partire da Mo.
   u
   In questa espressione analitica della funzione s, di cui quella determina la legge di variazione, se consideriamo vo ed a come costanti, s è funzione della variabile indipendente t.
   f1) Lo studioso farà agevolmente la figura da se.