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   capitolo ii.
   Sono irrazionali le funzioni:
   y^ + y^ ya\-x  ia  x
   Si suole chiamare frazionaria una funzione irrazionale, che si presenti come frazione avente per numeratore o denominatore una funzione irrazionale, come negli ultimi due esempi che precedono; ma non si usa mai per le funzioni irrazionali la denominazione di intere.
   Le funzioni irrazionali, ove qualche indice sia pari, possono assumere valori immaginari e complessi, anche per valori reali delle variabili e delle costanti ; così, la prima delle funzioni precedenti, per tutti i valori negativi di x, eia seconda, per tutte le coppie di valori di x ed y tali che x^ + y'- > 1, assumono valori immaginari. Invece, una funzione razionale, se le costanti sono reali ed alle variabili si danno valori reali, assume sempre valori reali; nel qual caso, una funzione si dice reale. Una funzione reale chiamasi poi crescente o decrescente, per un sistema di gruppi di valori delle variabili, secondo che, per questo sistema, assume una successione di valori crescente o decrescente.
   Le funzioni razionali e le irrazionali si indicano colla denominazione comune di funzioni algebriche. Tutte le funzioni non al*gebriche sono dette trascendenti : ad es. ax, m log x, sen x + cos x, ecc.
   Vedremo poi una definizione più generale di funzione algebrica.
   Evidentemente, se in una funzione di n variabili si attribuiscono sistemi di valori particolari ad »  1 di esse, per ciascuno di questi sistemi la funzione può assumere infiniti valori; perchè, alla variabile rimanente si può dare, per ciascuno di quei sistemi, una varietà semplicemente infinita di valori: analogamente, se si attribuiscono sistemi di valori particolari ad n  2 variabili. Etc.
   Chiamasi Analisi la teoria delle funzioni; Analisi algebrica od Algebra la teoria delle funzioni algebriche.
   L'Algebra Elementare, della quale si è già fatto un primo studio e che è l'oggetto di questo corso complementare, studia le proprietà delle funzioni seguenti (sovrattutto per ricercare i valori delle variabili che fanno assumere a quelle valori dati, e viceversa) : intere di 1° e 2' grado, ed intere di grado superiore che si possono studiare mediante le precedenti ; razionali frazionarie, i cui termini (specialmente il numeratore)