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   capitolo i. ì
   la variabile indipendente a ricevere: a) solo valori di un dato campo; o b) dei valori di un campo, quelli compresi in un dato intervallo (m, n) ; ovvero c) fra' valori di più campi, quelli compresi in un intervallo; etc.: inoltre per guisa, se si vuole', che il gruppo dei valori dati alla variabile sia formato in un certo modo.
   Si dice che una variabile è reale e continua o reale e discreta (varia per valori reali continui o per valori reali discreti), secondo che la successione dei valori, dati ad essa, è reale e continua o reale e discreta (18, 24). Pertanto, una variabile reale x, continua in un intervallo (m, n), assume tutti i valori compresi in ogni intorno arbitrariamente piccolo di un punto qualunque dello stesso intervallo. Così, quando la successione dei valori di a: è crescente o decrescente, si dice che x è crescente o decrescente.
   L'insieme di tutti i valori reali, che una variabile continua può prendere da  00 a + 00 , si denomina una varietà ad una dimensione o semplicemente infinita (35); e chiamasi poi varietà due (22), tre, etc. volte infinita l'insieme delle successioni di valori, che possono assumere due, tre, etc. variabili reali e continue da  oo a -f 00 , successivamente e ciascuna variabile indipendentemente dalle altre (').
   Quando poi sia esprèssa una funzione di una o più variabili mediante una formóla qualunque, che indichi un complesso di operazioni note da eseguirsi sulla variabile o sulle variabili, per tutti i valori particolari di queste compresi in dati intervalli, sarà definito il legame esistente fra la variabile o le variabili e la funzione, e quindi stabilita la legge di variazione di questa; perchè si saprà dedurre la successione dei valori, assunti dalla funzione in corrispondenza a quelli della variabile o delle variabili. Allorché una funzione è espressa in questo modo, che chiamasi analitico (2), può dirsi che le lettere f, F, cp,____rappresentano brevemente,
   senza determinarlo, quel complesso di operazioni da farsi sulle variabili
   e su costanti; cioè, allora f, F; cp..... rappresentano simbolicamente
   espressioni algebriche qualunque, polinomie o monomie, formate con variabili e con costanti.
   In seguito, parlando di funzioni, intenderemo riferirci sempre oN.'espressione analitica, cioè intenderemo parlare di funzioni espresse analiticamente; ed, in base all'espressione analitica, faremo la classificazione delle funzioni.
   Ove occorra porre in rilievo non solo le variabili indipendenti x,y,_____ ma anche le costanti a, b,____che entrano in
   una funzione espressa analiticamente, si scriverà\f (x, ?/,...;
   (!) Pincherle, Saggio cit., Sez. 2», def. 1».
   (2) Non per ciò si dirà analitica la funzione così espressa, giacche quest'appellativo è riservato (Pincheble, Saggio cit., Sez. 3», § in, 7) a funzioni che ammettono come proprietà caratteristica uno sviluppo speciale ; quantunque in quel senso sia definita la funzione analitica da alcuni Autori (ad es. Houel, Caletti Inf. n. 156, pag. 104). La definizione generale di funzione, data in questo numei oindipenderi temente dalla possibilità dell'espressione analitica, devesi a Dirichlet: non può affermarsi che, quando una quantità è funzione di una o più quantità variabili in un dato intervallo od in dati intervalli, si possa sempre esprimere analiticamente questa funzione (Diri, Fondamenti, n. 29).