44 capitolo r.
   Segue da ciò che, se fra tutte le coppie di termini successivi di una data progressione per differenza si inserisce uno stesso numero m di medi aritmetici, si ottiene ancora un gruppo in progressione aritmetica.
   Segue da ciò che, se fra tutte le coppie di termini successivi di una data progressione per quoziente si inserisce uno stesso numero m di medi geometrici, si ottiene ancora un gruppo in progressione geometrica.
   43. Un gruppo di numeri (u) è in progressione armonica ossia costituisce una progressione armonica, quando ogni suo termine è medio armonico (41) del precedente e del seguente. Per un termine qualunque ua
   j. . . , . . mn - 1-Un Un-1
   di una progressione armonica è quindi :
   , -Un + 1 Un + 1
   Avendosi (39 a)) (w _i  m ) « 4-1= (ua  mn+i) m _i, da cui evi-dcntcmcntn Ua '1 ~ W,>  ~ M'+1 sarà- ___ =  ___ "
   Ucllljtrllltilll'O - -, oHiit,-    --,
   Un-lUa Un Un + 1 Mn Un -1 Un+1 Un
   cioè, le inverse di tre termini consecutivi della progressione armonica costituiscono una progressione per differenza: e viceversa, come è chiaro.
   Da ciò risulta che, dati due numeri Ui ed m tali che «, > ifc, si può formare una progressione armonica, che abbia per primi due termini ui ed ut, formando la progressione aritmetica, di cui i primi due termini
   sono -i ed . Un termine di questa sarà (43, 2) -Ì + ( n  1) .
   «1 M2 «1
   , m2 mi
   ' 1 J_\
   ; ni mi )
   ed il corrispondente dell'armonica 1 :
   + (n- 1),
   mi
   Anche per le progressioni armoniche, si potrebbe proporre il problema analogo a quelli dell'inserzione dei medi aritmetici e geometrici.
   Es. Avendosi +3, 7, 11, 15, 19, '¡..., sarà fc-,-, j^, , .... j
   J.___1_ 4
   3 7 3.7 3 un gruppo in progressione armonica : ed, in vero, -j-j- = j
   Ti
   fi n n n \ ( n  l ' n^til ' ' ' % % % %)' \n'J 1 ' n '
   1 7 4 3.7
   1 4
   11 11.7
   1 1
   '2 ' 3 '
   n
   n2 + 1 ' n'2 +'2 ''
   44. Vedremo in seguito (Cap. VI) altri gruppi, costituenti le cosiddette frazioni continue o frazioni a catena.