40 capitolo i.
   § 5.
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   gruppi direttamente ed inversamente proporzionali; gruppi in progressione aritmetica, in processione geometrica ed in progressione armonica.
   SI è visto nel corso iniziale d'Aritmetica Generale che (n. 38-43):
   38. I gruppi di numeri reali ____, «8, .... e____vlt
   diconsi direttamente proporzionali (o solo proporzionali), quando, corrispondendosi i termini uno ad uno (corrispondenza univoca), sia costante il quoziente o rapporto di ciascuna coppia di termini corrispondenti ; cioè sia, se ad es. si corrispondono i termini di indici uguali:
   Hi. ^ = = =
   Vl Vs ®8 ~ ' V ~ ~ P'
   ossia----u, : vi = w2 : v2 =____- ua : v ____, ove sì legge u,
   sta v, come ut sta v2 etc.
   Ciascuna di queste successioni di uguaglianze chiamasi proporzione, di cui gli u diconsi antecedenti ed i v conseguenti. Al numero p si dà il nome di rapporto o coefficiente di proporzionalità diretta.
   Evidentemente: 1° i due gruppi conterranno sempre lo stesso numero di termini, che è o no noto, secondo che i due gruppi sono o no arrestati da entrambe le parti ; 2° dati una coppia di termini corrispondenti, ossia il rapporto di proporzionalità, ed i termini di un gruppo, si possono determinare i corrispondenti dell'altro gruppo.
   Lo studio delle proprietà dei gruppi proporzionali dipende, quindi, da note proprietà dei quozienti o delle frazioni ed è stato già fatto.
   Ricorderemo soltanto che, avendosi  =  (h e k qua-
   i\ vk y 1
   lunque), per note proprietà di Aritmetica generale risulta 'h Vi vbitk . . . v
   = , da cui uh vk = vb uk  (1, cioè: se due gruppi