466 CAPITOLO VII.
delle proporzioni (38), Si ha adunque: ~ ^ ; da cui, le due so-
a y » ± y
, . . . <*V» dv»
luzioni : a; = -7=- ~
Vi + Vi' Vi yr
Evidentemente, a;' è minore di
Osservazione. E facile trovare il luogo dei punti del piano egualmente rischiarati da A e B. Indicando con P uno di questi punti e con
x, y le sue distanze da A, B, dev'essere : = ± ^L : quindi, il luogo
y y i'
domandato è il cerchio di Apollonio (l), che ha appunto per diametro la MM'. Si potrebbe ricavare il luogo dei punti dello spazio ugualmente illuminati da A e B. ^
Se fosse i = i', si avrebbe: x' 75-, x' 00 ; risultati prevedibili.
¿1
XXXII. Un peso p, senza dimensioni, è fissato all'estremità A di un'asta rigida e senza peso OA, di lunghezza r, attaccata per la sua estremità 0 al punto fisso 0, intorno al quale essa può ruotare senza attrito, in un piano verticale. In A è attaccato un filo flessibile e non pesante, che passa senza attrito per il punto B posto, sull'orizzontale condotta per 0, ad una distanza OB da 0 eguale ad r. All'estremità di questo filo pendente in A sta un peso q. Si calcoli l'angolo che l'asta fa con l'orizzontale nella posizione di equilibrio del sistema.
Se si indica con 2x l'angolo domandato, gli angoli OAB, OBA saranno entrambi eguali ad x. Potendosi il punto B considerare come una puleggia piccolissima, la forza q si trasmette integralmente in A. Poiché il sistema è in equilibrio, la risultante delle forze p e q applicate in A passa per 0 ; onde i momenti delle due forze, rispetto al centro 0, sono eguali, cioè : p . r cos 2x q . r sen x. Si ottiene quindi l'equazione : 2^>sen2a: 4-jsena; p = 0.
Essendo necessariamente x un angolo acuto, dovrà aversi : 0 < sen x <
< 1. Si assume come parametro p , che varierà fra 0 ed 00,
i' 1 poiché p e q sono positive. Ora si ha, risolvendo: sen x p ±
± I yps _ 8, donde 8 = p2 8. Inoltre : - = -! %; - = ì p, 4 a 2 a 2
(1) Vedansi: Baltzeb, Planimetria, § 8, n. 6: Sahnta 0 D'Ovidio, Elementi di Geo-
metria, 10a ediz., n. 151; Giudice, Geometria piana, 251';'ecc.
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