462 CAPITOLO VII.
   perii discriminante 5' di questa funz., si ha: 8' = 16(4fc2 3 )2kl 16&2 = = 16fc2 (4A:2  2) {W  4) = 128F (2k2  1) {k2  1) = 128A:2 (k V'2 + 1 ) (¿V 2' 1)(&+1)(& 1) =64fcaV'22(&y^4-  l)(fc+l)(fc 1)==
   = 64*2 (i + ^fc-^ + lMfc-l)- 64F [k + J) "
   V~2 V'2
   . (& 4- 1) (k  1); il qual prodotto si annulla per i valori---j- ' '
    1 ed 1 di k. E poiché, essendo 0<_i    V~2
   aversi neanche--¡j~< &<0, rimangono soltanto i due casi possibili:
   a
   y'~2 y 2
   a) 0 < &< ~2~t nel quale sono positivi due fattori k 4- -g-,k + 1
   V'2
   e negativi di altri due k-~-, k  1, onde 8f > 0:
   V~2 VI
   Z>) <_ k < 1, nel qual caso sono positivi i tre fattori k 4- 1 f2
   fc , & 4- 1 ed è negativo il fattore k onde 8' < 0.
   u
   Nel caso a), le radici di 8 sono reali (disuguali od uguali); e poiché il loro prodotto 16fcs è essenzialmente positivo e la loro somma 8k (4k2  3)
   è negativa (essendo,    per dato, m è positivo; perciò, i suoi valori sono esterni all'intervallo delle radici del trinomio 8 : questo è adunque costantemente positivo per ogni valore di m e le radici della (1, nel caso a) in esame, sono reali.
   Nel caso b), le radici di 8 sono immaginarie od eguali; per conseguenza, risulta sempre per 8 il segno 4- del primo termine per ogni
   V~2
   valore reale di m e le radici della (1 sono reali. Quando k  , 8,
   che diviene un quadrato perfetto, si annulla per m   2 V 2.
   Adunque, mentre k assume valori compresi fra 0 ed 1, 8 non si annulla, ma è sempre positivo per valori positivi di in e per conseguenza,
   oc
   essondo per dato il parametro m positivo e 0 <.sen < 1, l'equazione (1
   -.e (4i-2  3) km  2k2
   ha sempre radici reali. Ora, per essa, si ha:  --^-=
   a 2
   (4 k2  3) k r Ih 1 , . ... , . 2 k
   [2/fc 1 2k
   m  75-5-x I ; da cui, per in, il valore notevolo  s,
   «  oj 4 k'  o
   che è positivo o negativo, secondochè  3^0, ossia k <   od