;V LA DISCUSSIONE DEI PROBLEMI.
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   si sostituisce e si trascurano i fattori costanti, risulta per la superficie totale, di cui si vuole trovare il massimo, l'espressione (a meno del fattore : y> (ir*  y2) + 2rf- r2  y\ Ponendo « = Ì ir2  y2 e
   raccogliendo i fattori comuni, si trova: z (2> z) (2r + z) (2r + z).... (1.
   Par determinare il massimo di questa funzione di z, ci varremo del metodo dei coefficienti indeterminati (Capitolo IV, n. 176). Poiché gli ultimi due fattori sono eguali, moltiplicando i primi due rispettivamente per pi e pa, si ha: piz. (2par  ptz) (2r + z) (2r + z). Ora la somma dei quattro fattori piz + 2fa ---psz + ir + 2z = 2pir + 4r + z (pi 
    pa + 2) è costante, se pi  ft + 2 = 0 .... (2; nel qual caso, il pro-
   2 r + z
   dotto è massimo, quando pi z  pi (2r  z)  2r -f z, donde pi =-- >
   2 j. +-z ^
   Pa = p,-. Sostituendo nella (2 e facendo le debite riduzioni, si ha
   ¿r - " z
   l'equazione 2zì  rz  2r1 = 0, che dà i valori di z pei quali la funzione (1 è massima; ma poiché l'incognita ausiliaria z (della quale si scorge facilmente sulla figura il significato geometrico) è essenzialmente positiva,
   r (l + VI7)
   il solo valore di z che rende massima la (1 è : z =----. Mediante
   4
   __yì (4r2 _ V2)
   la formula di posizione z = y4r3  y1, la x* = - ed il teo-
   rema di Pitagora, si possono trovare i valori di y, x e dell'altezza corrispondenti al massimo della superficie totale e l'espressione di questo massimo.
   Sohczione trigonometrica. Indicando con x il raggio della base del cono e con y l'apotema, come nella soluzione precedente, e con 2a l'angolo al vertice, si ha : x = r sen 2a = 2r sen a cos a, y =   . Quindi ° ' sen «
   l'espressione nx* + nxy della superficie totale, se, dopo la sostituzione dei valori di x ed y, si trascura il fattore costante 4itr2, dà : sen a cos2 a . .(1 -fsena). Evidentemente: a<90°.
   Per determinare il massimo di sen a cos2a (1 + sen a) = sen a (1 
    sen a) (1 + sen a) (1 + sen a), ci varremo, come nella soluzione precedente, dei coefficienti indeterminati; perciò, essendo uguali gli ultimi due fattori, moltiplicheremo i primi due rispettivamente per pi e pa e poi opereremo (176 e 179) come nella soluzione che precede:
   pi sen a (pa  pa sen a) (1 -f sen a) (1 sen a) ;
   pi sen a + pj  - pa sen a + 2 + 2 sen a = pa + 2 -f sen a (p!
   Pi  pa + 2 = 0 ;
   /i , , 1 -f sen a
   pi sen a = pi (1  sen a) = 1 -f sen a; pi =   , pa =
   1 + sen a 1 + sen a
   -pa + 2);
   1 + sen «. ' 1  sen a