456 CAPITOLO VII.
   Per il teorema dei seni (Parte II, § 1, formala XII) :   =
   son a
   =- - =-%-- ... Ma per l'ipotesi : a = 180  30, donde
   sen t  son fi sen y  sen p r
   sen a = sen 30 ; sen y = sen 2p. Dunque :   z-:  --r . E
   1 sen 3p sen 2p  sen p
   poiché sen3p==sen 2PcosP -f senp cos 2p = 2 senp cos2 p -f sen P (cos'P 
    sen2 P) = 3 sen p cos2 p  sen3 p == sen p (4 cos2 P  1 ), sen 2p  sen p =
   = 2 sen p cos p  sen p = sen p (2 cos P  1), si ha:
   a a  d
   senp (4cos2p  1) senp(2cosP~l) Di qui si ricava facilmente:
   2 (d  a) cos P + d
   sen p (2 cos p  1) (2 cos P + 1)
   = 0.
   <-i)
   Nessuna delle radici del denominatore ^P = 0, cos P == ~, soddisfa il numeratore: considerando quindi l'equazione 2 (d  a) cos p +
   + d  0, si ha cos p  _ ^  ; ove è a ><2, perchè per l'ipotesi, in
   ¿ (et  d)
   a + 6 == c + d, è e>b. Si conoscono pertanto, del triangolo, il lato a e gli angoli p, y : caso fondamentale noto della risoluzione dei triangoli (Parte II, § 1).
   XXII. Conoscendo le distanze PA = m, PB = n {n > m) di un punto P da due rette parallele a, b date in uno stesso piano con P, inserire fra le parallele un segmento A'B' perpendicolare ad entrambe, per modo che la tangente dell'angolo A'PB' sia k.
   Poniamo AA' = x, convenendo che x sia positiva o negativa secon-dochè il punto A' cade da una parte o dall'altra del punto A. Evidentemente per dato: k > 0.
   Per una nota formula, che esprime la tangente di una differenza, e per la definizione di tangente: tang A'PB' = tang (A'PA  B'PB) =
   x x
   tang AfPA  tang B'PB _ m n  (n  m) x _
   ~ 1 + tang A'PA tang . B'PB- 1 + ' UnqUe : mn + x2 ~ '
   mn
   ossia : kx2  {n  m) x + mnk = 0.
   Ora si ha: 6= In m)2 4k2mn=4mn , ' + k1'!  k, ;
   L2 imn J L.2 i mn J
   c b n  m
    = mn;---  ;--
   a a k