LA DISCUSSIONE DEI PROBLEMI,
lori per x, corrispondenti a due rettangoli, dei quali uno ha i vertici Q, P sui prolungamenti di AB ed i vertici M, N sui prolungamenti di CA, CB, e l'altro ha i vertici Q, P su AB ed i vertici M, N sui prolungamenti di AC, BC.
V. L'ipotenusa AB di un triangolo rettangolo ABC è c: sieno ACE A, BCFB i segmenti individuati dai cateti AC e BC nel semicerchio circoscritto ad ABC. Determinare l'altezza CD = x del triangolo, per mòdo che la somma dei volumi generati dai due segmenti ACE A, BCFB sia equivalente ad una sfera di raggio r (P. E., Introd., n. 27, problema 13°).
Dall'equazione ricavata nei P. E. si ottiene, fatte le-semplificazioni, l'altra: e3 Icx'1 = 8r3, la quale ammette le due radici"
Per la condizione imposta dal problema al punto C, il quale deve trovarsi sulla semi-circonferenza circoscritta ad ABC, non è possibile attribuire segno ad x : si sarebbero potute distinguere le x in positive e negative con la stessa convenzione dei seni (22, 134), quando al punto C fosse stato concesso di percorrere 1' intera circonferenza circoscritta ad ABC. Il valore negativo xi di x deve quindi essere scartato come non rispondente al problema, il quale ha perciò una soluzione data da
Xf '
(2r)3 2c
c
semprechè cs 8r3 >_ 0, ossia, ricavandosi di qua r3 <. , semprechè c
r 2 ' c
g- è dunque un massimo di r: per esso, x 0; donde: il triangolo
ACB si riduce all' ipotenusa AB, la somma dei volumi generati dai due segmenti diviene la sfera generata dal semicerchio AECEB, il raggio
della quale è appunto == " . -
a
E si può trovare anche un minimo di r, osservando che, per l'equa-
c3 c
zione stabilita su, esso è dato da : r% = -j- x'!. Onde, il minimo valore
o 4
di r3 corrisponde al massimo di x, giacché per questo il sottraendo assume il valore massimo e quindi la differenza diviene minima. Ora, per il massimo
'3 _
C ' C3 C C2 C3 ci -
valore di x, si ha r3 == T. -r = 7^, e perciò = c ' . che
2 8 4 4 16 2 3 "
è appunto il minimo di r : per questo, x l -¡r = ~ , per cui
% ce ¿1
f-
Ì2
e'
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