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   CAPITOLO VII.
   IV. In un triangolo ABO, inscrivere un, rettangolo MNPQ, che abbia la superficie data k2, il lato QP su AB ed i vertici M,N rispettivamente su AC e su BC. (P. E., Introd., n. 27, problema 10°).
   Fatta eguale ad x la distanza CR del vertice C da MN ed indicati rispettivamente con c, h (numeri aritmetici) il lato AB e l'altezza corrispondente CD (contata a partire da C) del triangolo dato ABC, nei P. E. si è trovata l'equazione: ex3 chx -f hk% =0. Evidentemente: 0 < j< x <_ h ; il numero k3 non è suscettibile di doppio segno.
   Si ha : 8 =  4chk2 + c2h2 =  4eh [k2  , funzione di 1» grado eh c hk2 V 4 / j in k3, la cui radice è -¡- ;  =-, che ha per radice k3 = 0 :--= h,
   4 a e a
   indipendente da k2 e sempre positiva, qualunque sia k3; f(Q)  hk2;
   eh
   f(h) = hk2. I valori notevoli di le1 sono: 0, - "
   Risulta quindi il prospetto della discussione: f(x) --- %= ex3 chx + hk3 = 0, 0    Xì )
   eh ± icV ichk'1
   2c
   param.
   h3
   m
   m
   +
   +
   +
   +
   +
   eh
   T
   + 00
   [Le radici sono xi = 0, xi  h. Due soluzioni limiti dèi problema, rispettivamente: l'altezza CD, la base AB (rettangoli di superficie 0).
   Nell'intervallo jo, -^j , radici reali entrambe positive comprese fra 0 ed h, perchè fra questi numeri sta la semi-h
   somma delle radici -¡r. Due soluzioni per il problema. ^ ^ [Radici r?ali eguali : xi =xi  . Massimo
   u
   di ic'K Due soluzioni coincidenti per il problema.
   Radici immaginarie. Nessuna soluzione per il problema.
   Osservazione.  Se dal problema non fossero imposte su AB (fra A e B) le posizioni dei vertici Q, P e su AC, BC rispettivamente quelle di M, N, si potrebbe supporre che R variasse oltre D ed oltre C; così risulterebbero per k3 valori negativi. Supposto k2 negativo, la formola
   i j j- " eh ± Ìc2h2  4chk2 complessiva delle radici > =  ---.
   xi) 2 c
   dà appunto due va-