422 capitolo vii.
   231. Esempi.
   Problemi di applicazione dell'Algebra e della Trigonometria alla Geometria.
   I. Date, su di un piano o, due circonferenze di centri 0 ed 0' e raggi r ed r (r J> V) e data la distanza 00' = d dei centri delle due circonferenze, determinare su a un punto M, tale che le tangenti MB, MB' condotte da M rispettivamente alle due circonferenze 0, 0' sieno eguali f1).
   Essendo N il punto d'incontro di 00' colla perpendicolare condotta da M ad 00', poniamo : ON = x, MN = y. Per il teorema di Pitagora, 'si ha : MB2 = OM2  r2 = x2 + y2  r2\ MB'2 = O'M2  r'2 = y2 + + [d x)2 r'2. Quindi, per la condizione del problema: x2 + y2 
    r2= y2+ (d x)2 r'2. Donde : x =- -=- -.
   ¿d ¿il
   Osservazione.  Essendo x indipendente da y (che dà la distanza di M da 00'), tutti i punti della perpendicolare MN ad 00' nel punto N, tale che ON = x, rispondono alla questione. Come si sa, alla MN si dà il nome di asse radicale (luogo geometrico dei punti, dai quali si possono condurre tangenti uguali alle due circonferenze).
   Discussione. Essendo d il parametro, basterà che, nell' ipotesi r > r, esaminiamo i diversi e noti casi, che può presentare d rispetto ad r + r', r  r ed il caso d = 0 :
   a) d~>r + r' (circonferenze esterne). Avendosi d  r I> r', si ricava ci2 r2_r'2
   subito -  -> r, ossia x~> r. Quindi, la retta MN è esterna
   ¿d
   alle due circonferenze ed è più vicina alla minore, porchè, essendo d  risulta
   b) d  r + r' (circonferenze tangenti esternamente). Si trova x = r; per cui la MN è la tangente nel punto di contatto.
   c) d<.r + r' (circonferenze secanti) ; essendo P un punto comune alle due circonferenze, colla considerazione dei valori di x e di d  x si vede subito che x è proiezione di OE su 00', per cui P appartiene all'asse radicale.
   d) d' r-r r' (circonferenze tangenti internamente). Come in b), si trova x  r: l'asse radicale è ancora la tangente nel punto di contatto.
   e) d r: l'asse radicale è, come in a), esterno alle due circonferenze.
   (') Un altro esempio di discussione d'un problema di 1° grado (P. E, Intr., n. 25) si ha nei problema 3° n. 27 dell'Introduzione ai miei Problemi Elementari.