420 CAPITOLO VII.
   quali limiti deve, variare p affinchè il problema abbia una soluzione o due solùzioni (x).
   In virtù del n. 190, essendo per dato x in), affinchè il problema abbia una soluzione soltanto, bisognerà che p soddisfi alla relazione mista a .f{m) < 0, purché però,
   «e /'(»») = 0, non risulti 5 = 0 e sia w <  ^ (ovvero m >
   b s
    2a): (luan^° avviene, la radice minore x' (o la maggiore x') di f{x)  0 risponde al problema. E, perchè questo abbia due soluzioni, sempre nell'ipotesi x<.m (ovvero x >.m), dovrà p soddisfare al sistema di tre inequazioni: a. f(m) > 0,
   6 > 0, m> ^ (ovvero m<  ^j: allorché ciò si verifica, entrambe le radici di f{x) = 0 danno soluzioni del problema;
   ed essendo a. f(m) = 0, poiché m >  ^ (ovvero m <  ,
   m coincide con la radice maggiore x' (ovvero con la minore x).
   Quando poi si ha per dato h <.x<_ k, perchè il problema abbia soltanto una soluzione, dovrà p soddisfare (190) alla relazione mista f(h).f(k)<_0, purché però, essendo § diverso da zero, mentre uno dei fattori f(h), f{k) si annulla, il prodotto converga a zero col segno  . Ed affinchè il problema abbia due soluzioni, sempre neir ipotesi hfk x 0, a .f(k) > 0, S >0,h < k> ¿(2); es-
   x
   sendo f(h) = 0 [ovvero f(k) = 0], h[ovvero A] coincide con
   [cono;'], poiché h<  ^ ^ovvero A >  "
   Devesi adunque risolvere, per l'esistenza di una soluzione, la a . f(m) < 0 oppure l'altra f(h). f(k) <. 0, secondochè per dato x <_m [ovvero x>_m\ o h<.x<^k [con opportune av-
   (!) Gieod, Exposé d'une méthode de discussion des problèmes du second degré ( Journal de Matli. Elem. di Vuibert 17» annata nn. 7 ed 8), già citata nel n. 227. In questa Nota però non sono messe in rilievo, in generale, le soluzioni limiti date dagli estremi degli intervalli accettati per la variazione di n, ma si accenna ad esse soltanto in un'Osservazione (pag. 60) a proposito della discussione di un noto problema di Fermai
   (2) Come si disse nei numeri precedenti, sapendo che le radici sono positivo, invece
   di  si pub considerare 1 -.  Basta che due delle inequazioni sieno incompatibili,
   ¿9 f a
   perchè possa concludersi che il problema non ha soluzione.