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   CAPITOLO VII.
   4°. 24« + 18y + 42z + 15i + 10« = 223. Si ricava w = 22  2x 
   3  4x  8y  2z  5« nn  .
    y  4z  t-\----= 22  2«  y  4s  t + u>,
   , . 3  4«  8y  2z  5i . , . , quando si ponga - --- w. da questa si ha z =
   3  4x  8y  5i  10m> ,  , 0J K . 1  t .
   > 1  2x  4y  2t  5w -j--; cioè,
   2--~~  1 2
   « = 1  2«  4y  2i  5mi + , mediante la posizione   = m, la
   quale dà t=l  2wi. Sostituendo in z, risulta: « = 1  2«  4«/ 
    2 (1  2«>i)  5w + wi   1  2«  4y + 5k>i + 5w; e sostituendo questa espressione di z e l'altra di t in u, si ha : u  22  2«  y 
    4 ( 1  2x  4y + 5wi  5w)  (1  2wi) 4- w = 25 + 6« + Ihy 
    18m>i + 21m\ Dunque le soluzioni intere dell'equazione proposta si hanno assegnando valori interi arbitrari ad x, y, tv, wi e poi ricavando z, u e t dalle formolo trovate; le soluzioni intere e positive si ottengono risolvendo il sistema di inequazioni:  1  2x  4y  hwi  5io > 0, 25 + 6x + 15y - 18wi + 21u>>0, l 2m>0, x>0, y>0.
   223. Affinchè un sistema di m equazioni lineari con m + n incognite ammetta soluzioni intere, è necessario che ammettano soluzioni intere le singole equazioni e che, quindi, in ciascuna di queste, divisi i due membri per il massimo comun divisore dei coefficienti delle incognite e del termine noto, risultino primi fra loro i coefficienti delje incognite. Supponiamo che ciò sia: con convenienti eliminazioni, si può passare ad un altro sistema equivalente e del tipo
   contenente
   «llXl 4 «12052 + . . . iX =1h, m + n
   a3iXi+aa2X2+ . . . + (h,m+n-iXm+n-i=ìh........ m+n li
   .....................................a
   o
   «m -l,lX\+/am-lfiX?+ , . .+am_l,u4-lXn+l+am-l,D+2^a-(-2+Am-l, « + 2 , «ra.l^l + «m^Ca +.....~f' dm,
   n+1
   Ora è noto che si possono esprimere le n + 1 incognite
   xx,....... dell'ultima equazione mediante n parametri
   pi, p3, .... , pn ; in guisa che, per valori interi dei parametri, si abbiano valori interi delle incognite. Sostituendo le espressioni trovate delle » fi incognite nella penultima
   equazione, si avrà un'equazione con n + 1 incognite pi, pa,_____
   pa, xn+2 : trovati i valori di queste in funzione di n parametri
   p'i, p'3,____p'n, se si sostituiscono le espressioni ora ottenute
   per pi, p8,____, p nei valori prima ricavati per Xi,...., xa+i,
   risulteranno, oltre ad xnj-t, anche xx, x2_____, £C +i espresse