386 capitolo vr.
ordinatamente delle divisioni dì h per a e per l, si potrà
h r h ri
porre x = g cc1 = - ~ «1, y = qx yi ~ yi'
quando #1 ed yx sieno positivi ; sostituendo, si ha quindi
a a*) + b ^ -y yij = h, donde aa* + =
= A r n, ossia aa>i + èyi = ih. Operando in quest'ultima equazione, come sulla proposta, e così di seguito, potrà avvenire: o 1°) che si giunga ad un'equazione, la quale, essendo negativo il termine di grado zero, non ammetta soluzioni positive, per cui non avrà neanche soluzioni positive la proposta (in virtù delle posizioni successivamente fatte); ovvero 2°) che si ottenga un'equazione axm + bym^= hm, avente hm multiplo di a e b e quindi anche (poiché a e b sono primi fra loro) hm multiplo di ab secondo un certo numero k. In quest'ultimo caso, il processo di sostituzione termina necessariamente (essendo eguali a zero i resti), e l'equazione axm + bym = kab ha le soluzioni xm = pb, ym = sa, ove p + s = k; dalle quali si deducono quelle della proposta con successive sostituzioni nelle posizioni fatte.
Esempio. 2x + 3y = 25 Operazioni Posizioni Catena di equazioni
25 I 2 25 I 3 2, + 3«/ = 25
i W' i''5 ' x =12 xi, y =8 yi, 2,i + 3yi = 23
1 Là lo
23 ,_2_ 23 j_3_ 1 11 ' 2 7
«1 = 11 xi,yi 7 ya, 2#2 + 3ì/2 = 20
ossia
2o'-Ì-> «2 = 10 ,3,2/2=6 yt 2,3+32/3= 18,
0 10 2 6 2,3 + 3ys = 3 (2 .3)
'~X3 = 3p, i/3 = 2 s.
Essendo k = 3, le coppie di valori di p ed s, pei quali p + s = 3, sono (0, 3), (1, 2), (2, 1), (3, 0) ; perciò, x = 12 xi = 12 (11 x») = = 12 [11 (10 «3)] =11 Sp dà per « i valori 11, 8, 5, 2, cui corrispondono ordinatamente per y= 7 2s i valori 1, 3, 5, 7.
222. Data un'equazione lineare con più di due incognite, sieno resi tutti i coefficienti primi fra loro: evidentemente anche qui, come nel caso precedente, condizione necessaria per l'esistenza di soluzioni intere è che i coefficienti delle incognite sieno primi fra loro ; dal fatto poi, che allora si sanno trovare soluzioni intere, risulta che questa condizione è sufficiente. -
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