jsp. frazioni continue - analisi indeterminata. 385
   b) (Metodo di Lagrange). Se ^ è la penultima ridotta della
   frazione continua, che risulta da p si ha aq bp =±1; donde
   a (± hq) + b(+ hp) = h: dunque, x = ±hq,y = + hp è una soluzione intera della (1. Per essa, le forinole generali, che danno tutte le soluzioni intere, divengono: x = ± hq + bp,y = = ^ hp  ap,
   È chiaro che questo metodo non si può applicare nel caso noto 6 = 1.
   220. Avendosi da ax + by  h l'equazione equivalente h  by  ax, si vede che la risoluzione dell'equazione indeterminata ax+by  h corrisponde alla risoluzione della congruenza h  by = 0 (mod. a), ossia alla determinazione dei valori interi di y, tali che h  by diviso a dia quozienti interi a:. Ora è noto che, fra' termini dith, h  b, h  26,...., h  (a 1) 6, i quali formano un sistema completo di nùmeri non congrui rispetto al modulo a (primo con la differenza 6), uno ed uno solo
   dà il resto zero. Pertanto, attribuendo ad y i valori 0, 1,2,_____ a 
    1 in h  by e trovando i residui rispetto al modulo a, si otterrà (al più con a tentativi) il valore di y, per cui h  by diviso a dà come residuo zero: il quoziente ò il valore corrispondente di x.
   Si ha così un terzo modo, per determinare una soluzione intera dell'equazione ax + by=h; se a~>b, operando sulla congruenza Ji  ax = 0 (mod. 5), si faranno meno tentativi : ma, sempre quando a e 6 sono numeri un poco grandi, questo metodo ò meno conveniente dei due esposti nel numero precedente.
   221. Fra le intere, le soluzioni positive dell'equazione ax + + by = h saranno date dai valori del parametro p che soddisfano il sistema x bp > 0, y 4- ap > 0, ovvero le relazioni miste x ¿p.>0, y' + ap.> 0, secondochè si vuole o no escludere lo zero come valore delle incognite: esse quindi possono esistere, in numero finito od infinito, ovvero non esistere.
   Rendendo espliciti i segni di a, b, li, si vede che l'equazione ax + by   h non ammette mai soluzioni positive: queste potranno esservi solo negli altri casi ax + by = h, ax  by  h, ax  by   h (dei quali il 3° è compreso evidentemente nel 2°). Nel primo di questi tre casi (a, b ed h positivi), le soluzioni positive si possono ricercare direttamente nel modo che segue, dovuto ad Hermite.
   Essendo x ed y interi e positivi come a, b ed h, si ha
   ax    Oktu- Carboni, 1 Compi. dell'Algebra elementare ecc.  25