382
   capitolo viI.
   § 2.
   EQUAZIONI INDETERMINATE E SISTEMI INDETERMINATI DI PRIMO GRADO (*).
   218. Un'equazione con più di un'incognita ed un sistema di m equazioni (indipendenti) con più di m incognite hanno [127, è)], in generale, infinite soluzioni (sono indeterminati): fra queste, quando i coefficienti sono numeri interi (positivi o negativi), si può fare la ricerca delle intere, la quale suolsi chiamare risoluzione in numeri interi dell'equazione indeterminata o del sistema indeterminato (analisi indeterminata: problemi di Diofanto).
   219. Data l'equazioneax + by  h,.... (1, possiamo sempre supporre di aver reso i coefficienti primi fra loro (dividendo per il massimo comun divisore): allora, condizione necessaria per l'esistenza di una soluzione intera (x', y') è che a e b sieno primi fra loro, perchè, se d dividesse a e b, dividerebbe pure ax + by e quindi h, contrariamente all'ipotesi; dal fatto-poi che allora una soluzione esiste sempre, come vedremo, si rileva che la detta condizione è sufficiente.
   E chiaro che, quando b ed il coefficiente di un'incognita, ad esempio a, hanno un fattore comune c, y dovrà assumere valori divisibili per c, cioè sarà y = eyi: onde, dividendo per c, si ottiene un'equazione con coefficienti minori.
   Se ax + by  c ammette la soluzione intera (x', y'), indicando con (x'. y') una seconda soluzione intera (posto che esista), si ha ax' + by' = ax' + by', da cui a (x'  x')  b {y   y')\ il numero b, dovendo dividere a(x' x), dividerà x'
   rjQf_
    x', poiché è primo con a; adunque,  ^ = p (p parametro intero positivo o negativo); donde, a;' = x + bp, e per conseguenza y' y' ap [come rilevasi da a (x' x') = b{y 
    y'), sostituendo]. Viceversa, essendo (a;', y') una soluzione,
   (!) P«r alcune interessanti equazioni indeterminate di grado superiore al primo, possono eon»ultar»I ad esempio: Fbattim (Giornale, ài Matematiche, 1891, pag. 169, ¡892, pagg. 7,49,8«, 10», 172); Bìltzeh, Algebra, § 9, nn. 8-11; Todhumter, Algebra, parte II, ed. 687 Ci''; ne! quali luoghi, esse seno trattate piuttosto elementarmente.