380 capitolo viI.
   +  --2ii-- : dunque, uguagliando i due valori
   gmh(?mhPh + qh qmh-i)
   trovati per (m+0b, si ha:
   g(m+l)h
   Ph qm. + P'~l = ± g-
   Pm h , gmli grnh (g. h Pi, + gh gmh-l)
   Ora, facendo crescere all'infinito il numero m dei periodi, il secondo termine del secondo membro si annulla (perchè il suo denominatore diviene infinito, mentre il numeratore è indipendente da m); quindi:
   lim-
   m=oo
   'mh . 1« Pmh .
   P*~7T + P'-1 »  . lim  + Ph-i
   -2=5-= lim^\ cioè: -^^-
   Prali , gmh v Pmh ,
   gh  --h gh-1 gh " lim ---!' gh-1
   lim^
   Pertanto, indicando con x il limite di che è il valore
   gmli
   della frazione continua data, si ha P'1 00 P^-1, -x- ¿,a cui
   gh X + gh_i
   gh x2  (ph  qh-i)x pb~i = 0. Le due radici di quest'equazione sono reali e di segno contrario: il valore della frazione continua è dato dalla radice positiva.
   b) Data la frazione a catena periodica mista hi -1- -r~ + ....
   0 2
    1; 1 ; 1 ; 11- pk+i
   +" t h  H----h .... +-----f-____,silia -=
   bk at a2 ah Oi ' gk+i
   _ Ih fli + _ ¿Qn(j p0nen(j0 jn lU0g0 di ai il valore x della gk (h + gk-l
   parte periodica (quoziente completo), si avrà il valore y della
   data: y  X l . Ma si sa che x dev'essere radice di a gk x + gk-1
   un'equazione di 2° grado della forma g'h x3  (p'h  g'h-i ) x 
    2)'h-i = 0, se si indica con 1'hma ridotta della parte pe-
   gh
   riodica (considerata indipendentemente dalla parte antiperiodica): quindi, eliminando la x dal primo membro dell'ultima