FRAZIONI CONTINUE - ANALISI INDETERMINATA. 879' 4°. fri1 + 1 = n +  , xi = 2» +  , xi = 2« +  . Pertanto ;
   Xi Xì Xì
   I quozienti incompleti degli esempi precedenti si riproducono periodicamente nello stesso ordine, a partire o no dal primo. Quando verificasi ciò, l'insieme dei quozienti incompleti, che si riproducono, denominasi periodo e la frazione continua dicesi periodica, semplice (esempio 2°) o mista (esempi 1°, 3°, 4°), secondochè il periodo comincia o no col primo quoziente incompleto: nel secondo caso, al gruppo dei quozienti incompleti, che precede il gruppo periodico, si dà il nome di antiperiodo, come per le frazioni decimali periodiche.
   II valore (generatrice) di una frazione contìnua periodica è sempre una delle radici di un'equazione di 2° grado.  Infatti:
   a) Data la frazione periodica semplice + +  +....
   di di
   J 1 ; 1 : 1 : 1 Ph Pih
   +  +  +--1-----+--h_____ saranno 
   ah a% a* ah ' qh ' q» '
   ,____le ridotte corrispondenti ai termini hmo, (2h)mo,_____
   (mh)mo,...., ossia le ridotte relative ai termini estremi del
   1°, 2°,...., .... periodo. Ora, se in ^ = ^ + SazL 
   gh-j-l q-h «b4l gh-l
   ! Ph Ctl + ph-i . , . . : 1 " -1 Ph .
   =-;- si cambia «i m oi +---!-.... + "  =  , si
   qu «i -+ gh-i «a ah qh
   avrà  : ed in generale, se si cambia at in . da PhCl1 ,
   Qu ° }k    ' ^ +
   si otterrà ; ossia, = ^ <7m' . Ma da
   5(m4-j)h gCm+Oh Pmh
   Ph
   Pmh+1 Pmh amh+l
   -=--;- si ricava    -=»----------;
   gmh+l gmhamh+i T gmh-l g(m4-l)h Pli .
   qmh' r Qmh-l
   qb
   donde h  PmhP,» Pmh-iffh Pmi. cj0g P>h! 1)11
   §(ra+l)h q mh grali Ph + grnli-1 gh    i^è. _ gì' (Prnh -lgmli - j?mh-l Pmh) ^ infine  +
   ?mh gmh (guih Ph + ^h ^mh-l) 9(m+l)h