376 capitolo viI.
posta una frazione continua non arrestata, x^ rappresenta peri essa l'analogo di ciò che è il quoziente completo mh per uná frazione continua sviluppo di un dato numero razionale.
Vi
Data una frazione continua non arrestata, le cui ridotte sieno ,
...... la sene ai -j-------b------4---(- %" " "
Pi qiqi q^qi qsqi qh-iqh
(i cui termini sono, in valore ' assoluto, decrescenti sempre verso zero
ed, alternativamente, positivi e negativi) converge. (157) al valore x della
[1 ( 1)'1
ai -,--.... -(--I ==
qi ?2 gn-ljaj
^UmlSL+lSL-SL) +....+
2Í5. Per gli sviluppi in frazione continua, oltre alle proprietà del n. 213, le quali evidentemente sussistono anche per il valore di una data frazione continua definito come nel numero 214, è notevole la seguente: quando un numero aviene sviluppato in frazione continua (ed, in generale, data una frazione continua qualunque), ciascuna ridotta è più prossima ad a (al valore della data frazione continua), di qualunque altra frazione irriducibile, che abbia i termini più piccoli.
Se, infatti, si avvicina ad a più di , essendo m
dovrà essere con maggior ragione (213, a)) più prossima ad a che :
w qh-i
quindi, anche (213, a)) ^ sarà compresa fra e ; per cui, sup-
, ph. Ph-i % . m Ph-i ^ph PÌ,-i . , ,011.. ,
posto >-, SI avra--- <_------, cioè (211) in valore
jh qh-i n qh-i qh pu-i
mqh-i nph-i. 1 , , ,KC, n
assoluto ---" <" -, donde 55) mqh-i nph-i
nqb-i qh-iqu * qh
supposto invece Zllzl > ^ . si avrebbe npb-i »w/h-i < . Ora,
qh . r Ih
± (mqh-i nph-i ) non può essere identicamente zero, giacché allora (55)
si avrebbe l'identità , che non sussiste: non essendo inoltre n qh-i
± (mqh-1 nph-i) una frazione, sarà per conseguenza ± {mqh^i " nph-i ) > 1 ; onde, la precedente inidentità dà n > qh, contrariamente all'ipotesi.
Analogamente, dal fatto che l'inversa è compresa fra le inverse
in
qh-i ^ qh ^ r¡cavasj m . e(j 6ssen¿0 ph >_p\,-i, qh _> «i. i, deducesi qh Ph dalla dimostrazione fatta che:
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