372 capitolo vr.
   ' 3°. Ogni ridotta d'indice dispari è minore della ridotta precedente e della seguente (entrambe d'indice pari).
   b) Le ridotte d'indice dispari formano un gruppo crescente e quelle d'indice pari un gruppo decrescente. Infatti, la differenza di due ridotte, dispari o pari consecutive, è
   _ lh'1 _ Pb aM-l .+ Ph-1 _ (Ph qh-1     ' jh-i §h ah+i + gh-i ~ 2h-i ?h+i
   -, v , . i?h+l Ph-1 ( l)h Oh+1
   ossia, per il comma a) precedente, -    =-:
   r 'r ' gVfi Qh-i    quindi, essendo aB+i, gh+i, qw numeri positivi, la differenza
   è positiva o negativa, secondochè li è pari o dispari. Dunque:
   Sl<2Ì< . Pl>2£> m q» '  % * ' Pi Qi ' '
   c) Ogni ridotta d'indice pari è maggiore di tutte le ridotte
   d'indice dispari. Infatti, essendo > S^zL 2°J e
   qih    maggiore di tutte le ridotte d'indice dispari precedenti (è)), sarà  L maggiore di tutte le ridotte dispari, che la prece-dono;Inoltre,poiché  > ^ (6)) e 2°],
   Qìh    risulta  >ci0è maggiore di tutte le ridotte Qìh Qih flik-rl q2h
   dispari che la seguono.
   212. Come abbiamo visto nel n. 209, se un numero frazionario positivo viene sviluppato in frazione continua, si ha un gruppo di quozienti incompleti arrestato; e viceversa. Invéce, un numero irrazionale a dà luogo ad una frazione continua non arrestata: infatti, se «i è il maggior intero contenuto
   in a, ponendo a = ai + , sarà >%, al pari di a, un numero
   irrazionale ed inoltre maggiore di 1, perchè altrimenti la parte intéra non sarebbe ai; analogataente,indicando con a2 il maggior intero contenuto in jw2, si potrà porre m2  aa 4   ,
   vn3
   ove nh è ancora irrazionale e > 1. La frazione continua, òhe così si ottiene, non potrà arrestarsi, poiché altrimenti essa potrebbe essere trasformata in un numero razionale (209) ed allora a non sarebbe più irrazionale.
   I numeri m, risultanti dal procedimento di sviluppo ora