370 capitolo viI.
   ' ... Pi Pi , 1 «1«2 + 1 Pi ,
   I P°SlfclVl) fr & = * + = Js = ctl +
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   + - -A = rultima delle
   «3 «3
   quali è la stessa-frazione continua proposta; se invece questa, per dato, non è arrestata, il numero delle ridotte, come quello dei quozienti incompleti, è infinito (35).
   II valore di una ridotta hm*-si può calcolare, mediante le precedenti, nel modo detto (209) per una frazione continua arrestata o nel modo indicato nel comma 1° di questo numero. Ma si opera più speditamente, osservando che le ridotte di ogni frazione a catena costituiscono un gruppo (arrestato o no), i cui termini, a partire dal terzo, sono formati successivamente colla legge risultante dalle eguaglianze:
   Pi = Ph-i a* + ph_2, qh = qh-i ah + qh-2.
   Qmsta legge di formazione fu constatata per la terza ridotta: perciò, la stessa legge sarà dimostrata per una ridotta qualunque, quando si sia fatto vedere che, sussistendo essa
   per l'Ama ridotta, per cui questa è ah , sussiste
   pure per 1 \h + l)ma; giacche allora, essendo vera per la 3\ si verifica pure per la 4a, quindi per la 5a ecc. Ora 1 '(h + l)ma ridotta ricavata, come è detto nel comma 1°), dall'Ama, che si suppone formata colla legge precedente, è
   (gh + qh+1)+ Ph~2 («h?>b-i + Ph-2)«h+i + Pb-i^ffhah+i+yh-i.
   , 1 \ . ~ («1^-1 +91,-2) ah+i + ?h-i ihflh+i +2h-i* ab + :-    
   «h+1 dunque ecc.
   Da questa legge di formazione delle ridotte e dall' ipotesi fatta che i quozienti incompleti siano interi e positivi, risulta che i numeratori ed i denominatori delle successive ridotte formano rispettivamente due gruppi crescenti all'infinito (32).
   Esempi.  1°. Sviluppando in frazione a catena n  3,1415925536
   (rapporto della circonferenza al diametro), poiché n = ^qqqqqqqqqq ' s'