ancoRa delle equazioni e delle inequazioni. 361
   e) l\  idiCi > 0,b2  4ac <' 0. Se b2  4ac = 0, è x' = x' e quindi 8' > 0, perchè allora 8' = 4aia\ (x'  x\Y (x'  ar'i)2; se è2  4ac < 0, si dimostra come nel caso b) che 8' .''>0; in entrambi i casi, dunque, 8 (y) ha due radici reali e disuguali y' ed y' (     4aiCi>0, y potrà variare negli intervalli ( oo, y'), (y'i + oo), per cui y' è un massimo ed y' un minimo.
   d) Vi  4«ici 0, bì  4ac > 0. Allora, il numeratore ha due radici reali e distinte x', x' ; e così il denominatore ammette due radici x'i, x'i : si tratta di confrontare le prime con le seconde, supposto che le une sieno distinte dalle altre, perchè altrimenti si avrebbe al più una funzione a termini di primo grado e quindi priva di massimi e minimi. Ora è noto che si possono presentare i tre casi: x', x' comprese fra x\, x't o viceversa; x', x' esterne all'intervallo x\, x'i; x',x' separano una dello radici x'i, x'i. Si vede subito (specialmente costruendo le figure) che : nei primi due casi, è 8' >0 e quindi vi è un massimo ed un minimo, come in c) ; nel terzo caso, è 5' < 0 ed allora, come quando risultasse 8' = 0, non si ha nè massimo, nè minimo.
   Dunque, riassumendo, la funzione proposta ha: solo un massimo o solo un minimo, quando b\  4aiCi  0 ; un massimo ed un minimo, quando fa  4aiCi  0 ; un massimo ed un minimo, quando 62  4ac < 0
   ovvero b\  4«u'i <* 0 I semprechè non sia  = =  ì od anche
   \ ai fa ci J
   i* 4ac = 0 od infine b2  4ac > 0, b\  4aici > 0 ed inoltre in quest'ultimo caso le radici di un termine sono comprese o no fra quelle dell'altro ; nè massimo, nè minimo, quando b2  4ac > 0, b\  4aiCi > 0 ed inoltre le radici di un termine separano una delle radici dell'altro. Il valore di x corrispondente al massimo o minimo y' è x  
   __(b-bi/)
   2 (a  aiy')
   Applichiamo queste conclusioni ai seguenti casi particolari dell'esempio ora esaminato:
   !2 _l qr _l K  %
   10) Z . Si ha b\  4ai ci =  4 < 0. Dunque vi è un
   a; + 1
   massimo ed un minimo, non avendosi  =  = ; 8 (y)   4y2 i-
   ai fa ci
   + 24y 11 =  4 --: '  -yj " Minimo: ; massimo : . Valori di x corrispondenti al minimo ed al massimo : x' «=  3, x' = ir >
    , 3a:2 + lQx 89 . , . . , . ,2'
   2°) -  ;--. Si ha un massimo ed un mimmo, perchè b'i 
   2x2  4x  6
    4ai ci > 0 e le radici del denominatore sono comprese fra quelle del numeratore ;
   2x2_x_9
   30) ---. E 62i  4oiCi < 0 e le radici del numeratore se-
   x2  2x  3
   parano la radice  1 del denominatore ; quindi non si ha nè massimo, nè minimo ;