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   capitolo, Iv.
   x'ix'ì =  , donde b=  a(x'+ x'), c=ax'x', bi   ai (x7 + x'i),
   ai . f
   Ci = aix\x'i ; sostituendo in 8'= (2a.ci + 2aic  bbi)2  (b2/ 4«iCi) . (b2  4ac), risulta: /
   5' = a2ah [2x'x' + 2x\x'i - (x'+ x') x'i + x'i)]2£- a2a\ [{x'i  -x'i){x'-x')}2 = a2a21 [2«'«' + 2x'ix'i - (x' + x') (x\ + x'\) + (x\ - x'i). (x'  x'] [2x'x' + 2x'ixr'i  (x'-rx'i +x'i) - (x\  x'i) (x'-x')]
   = 4a2a2i [x' (x' - x'i) - x\ (x r  x'i)] [x' [x' - x'i) - x'i
   (x'-x\n
   = 4a2a\ (x  x'i) (x'-x'i) (x' - x'i) [x'  x\).
   Pertanto : a) quando il denominatore ha radici eguali x'i = x'i (e quindi b\  iaiCi  0), 8 (y) diviene la funzione lineare 2 (2aci + 2aiC 
    bbi) y + (6a  4ac) ; e perciò si avrà solo un massimo o solo un minimo, secondochè 2aci + 2«ic  ibi >0; quali si sieno le radici del
   numeratore (b2  4ac = 0). Ove, essendo sempre b\  4»ici = 0, risultasse pure 2aci -f 2«ic  bbz  0, l'eliminante dei due termini della funzione frazionaria sarebbe zero, perchè (aci  aie)2  (ahi  aib). (bei 
    bic) = [2 («ci + aie)  bbi]2  (6si  4«iCi) (b2  4ac) : allora, essi hanno una radice comune e per conseguenza un fattore comune; tolto questo, la funzione frazionaria, avendo i suoi termini lineari, non ammette nè massimo, nè minimo.
   b) Se il denominatore ha le sue radici immaginarie coniugate (b\ 
    4aici < 0), cioè x'i = m -f ni, x'i  m  ni, si ha x'  x'i = (x' 
    m)  ni, x' x'\  {x'  m) + ni, x'  x'i = (x'  m) 4 ni, x'
    x'i = (x'  m)  ni-, e quindi 8' = [(x' m)  ni] [{x'  m) + ni]. . [(x'  m) -f ni] [(x'  m)  ni]  [{x'  m)2 + n2] [{x'  m)2 + n2] " che è essenzialmente positiva, quali si sieno le radici del numeratore (b2  4ac == 0). Pertanto 8 (y) avrà in generale due radici reali e disuguali y' ed y' (y' < y'r) ed y potrà variare solo fra y' (minimo) ed y' (massimo). Nessuna coppia di valori reali di x' ed x' può far assumere a 8' il valore zero : 8' si annulla solo per valori complessi di x' ed x'. Pertanto, solo quando anche b2  4ae <0, può essere 8'= 0; ed in questo caso 8 (y) ha una radice doppia (reale) y'. Essendo il coefficiente b2i 
    4«ici di y2 in 8 (y) negativo, 8 (y) è negativa per ogni valore di y diverso da y' [mentre 8 (y ) = 0] ed a; reale solo quando y  y'\ adunque, se x varia da  oo a +oo, y dovrà conservare il valore y'. Allora, poiché l'equazione [ai  an/) x2 + (b  biy') x + (c  a y) - 0 ha i coefficienti costanti e deve essere verificata da qualunque valore di x,. sussisteranno le identità a  avj  0, b  biy  0, c  ciy'  0, cioè
   a _ b _ c _ ,
   h ci y '  %