b) R>0, S <0. Allora, fi(x) ed fi(x') sono entrambe negative; per cui x' ed x' risultano interni all'intervallo (x'i, cioè co < x\< x'Cx'
dunque, considerare f ^ , che può essere
c) R < 0, S < 0. In questo caso, fi (x') ed fi (x') hanno segni contrari : se fi (x') > 0, sono x' esterna ed x' interna all'intervallo (x\r x\), per cui oo < x'< x\<. x'<. x'\< + co ; inversamente, se invece /i [x') > 0. Per giudicare quale di questi due casi abbia luogo, basta si osservi che, nel primo caso, x\ > x, x'\ > x' e quindi x\ + > a»' 4 x', donde
> , cioè > 0; mentre, nel secondo, < 0. «i a ' ai a ' ' a± a
È chiaro che non potrebbe essere = 0, perchè obi
aib = 0 infirmerebbe l'ipotesi R < 0, non essendo bei he infinito.
Per fare il confronto delle radici di due equazioni di secondo grado, bisogna, dunque, formare le seguenti funzioni dei coefficienti e studiarne
il segno: R, S, f I 2^ct), -- . I risultati sono riassunti nel prospetto :
ai a
R > 0, S > 0
f (' 2ai!
R>0, S<0{a;'i 0
hl ì <0, x' < x'i < x'ì < x'
- > 0, x\ < x''i < x' <
ai a
< 0, a' < a; ' < a;'i < a', ai a
- - > 0, < a-'i < a' < ¡»'i
#1 (t
ai
% < 0, x' < < < x'
Se le equazioni proposte sono numeriche, le radici si calcolano agevolmente (cap. Ili) e quindi possono subito essere disposte in ordine di grandezza, senza fare l'esame che precede; ma questo può facilitare il Confronto, quando le equazioni numeriche abbiano le radici irrazionali: lo facilita sempre, ove i coefficienti delle equazioni sieno funzioni di uno o più parametri, nel qùal caso il confronto diretto sarebbe piuttosto laborioso, perchè esige la risoluzione di inequazioni irrazionali.
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