X. ESERCIZI. 311
    % . \
   denti: dimostrare ^he, se l'operazione viene continuata indefinitamente, il limite dei termini è ** ~t ^ "
   o
   229. Trovare il limite, per n = oo, della somma : ^ + '
   j x 22 1 32 1
   + ____^ +____+  j +____ Ponendo n = 1,2, 3,____nell'iden-
   1 11..
   tità 2 . -= 7 =-;---7 ed indicando con 2( _i) la somma dei
   n  1 n 1 n+1 g ^ i \
   primi n 1 termini, si ha: 2(u_i) = -  (  -,--- . Per n  oo
   o 4 2 \n n + 1/
   lim 2 = ^  % 4
   230. Trovare il limite della somma degli inversi di tutti i numeri interi dopo il 2, quando se ne prendono tutte le potenze intere dopo la seconda  Indicando con 2 la somma cercata, poiché sommando le diverse
   progressioni geometriche risulta 2 =  - + ^ - -f____= (j  2^) ^
   --r-r + ...., nel limite per a = 00 si ottiene 2 = 1.
   a + I
   231. Trovare il valore limite, per %=>xi, dell'espressione:
   V x  V xi -4- Va:  xi
   Va:2 - x\
   Dividendo per ì(x  xi, .... si trova : * .
   V 2xi
   aoa rn -ìi- -i sen3a . . 3 4sen2rt
   232. Trovare il limite di- per a = 0  Si ricava:    ---
   sen 2a 2 cos a
   233. Trovare il valore limite, per a = 0, dell'espressione ~
   sen na
   sen ni a
   (generalizzazione del 232)  Si può porre sotto la forma : K
   sen ncc n
   11 a
   2_cos8 se
   234. Trovare il vero valore, per a = 0, dell'espressióne----
   r r a. sen x cos a
   r, . , . . . . 1 + cos a J- cos2 a
   Poiché a = sen a per a = 0, si ricava : -- - "
   r cos a (1 + cos a)
   235. Essendo data una progressione geometrica decrescente, il cui primo termine sia a e la ragione q, si fanno le sommo si, sa, Sì, .... di n termini successivi di questa progressione, nello quali la somma si comincia al primo termine, la somma sa al secondo, ecc. Trovata l'espressione di ciascuna delle somme si, s-i......si calcoli la somma si 4-