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   CAPITOLO, IV.
   x' ed x' le radici di 8 (x) ; invece, quando 8' '< 0, la funzione 8 (x) è positiva per ogni valore di x: in entrambi i casi, si trova una curva del genere di quella studiata nel n. 182 esempi 4° e 5° (iperbole). Ove infine 8' = 0 [condizione perchè una funzione di 2° grado si scinda in un prodotto di due fattori (38, f), la)], l'equazione (1 dà luogo a due equazioni di primo grado aventi per immagini due rotte (a), l'insieme delle quali si può considerare come il limite dell'iperbole;
   3°) b2  4ac  0. Allora 8 (x) diviene una finizione lineare ; indicando
   ¿ì_4 cf y§ ix)
   con x' la sua radice  ^---, se be  cd< 0, la funzione  
   2 (be  ed) < % 2 e
   è reale per tutti i valori di x maggióri o minori di x' ; e quindi si trova come immagine una curva del genere di quella dell'esempio 2°n. 182 (parabola). Se invece le  ed = 0, secondochè e2  4cf= 0, si avranno per immagini due rette distinte, due rette coincidenti (essendo b2 4oc= be 
    ed 0, il primo membro dell'equazione è un quadrato perfetto), nessuna retta reale.
   In particolare:
   1°) l'equazione omogenea ax2 -f bxy -(- cy2 = 0 rappresenta sempre
   due rette : infatti, da essa si ricavano due valori fa, fa per il rapporto 
    CO oc * ^
   e quindi le equazioni--fa = 0,--fa = 0;
   V y
   2°) se, nell'equazione (1, a = c, b = 0, ossa si può presentare sotto la forma x2 + y2 -f- mx +. ny + p = 0 ; da questa, completando i quadrati, si ha un'equazione del tipo (x  li)2 + (y  k'f = r2, che rappresenta un cerchio, il cui centro ha le coordinate h e k ed il cui raggio è r; nel caso particolare del n. 182, esempio 3°, è h = k = 0.
   Adunque, dato un sistema di due equazioni con due incognite, l'una di secondo e l'altra di primo grado, se si pensa allo curve immagini delle due equazioni, risolvere il sistema corrisponde a trovare i punti comuni alle due curve: v. esempio 127, 3°, ed altri che precedono. E poiché il sistema ha due soluzioni, la curva rappresentata dalla (1 viene incontrata da una retta in due punti : donde la denominazione di curve di 2' grado alle immagini della (1. Dato un sistema di due equazioni di 2° grado, si hanno quattro soluzioni (che possono essere in parte o tutte immaginarie): quindi, due curve di 2° grado hanno sempre quattro punti comuni (tutti e quattro realisowero no: per il cerchio è noto che i punti comuni reali sono sempre due).
   Se f(x, y) = 0, fi (x, y)  0 sono due equazioni di 2° grado, f(x, y) + -(- p/i (x, y) =0 rappresenta un'altra curva di 2° grado, la quale passa per i punti comuni alle prime ; in particolare, quando f(x, y) = x2 + y2 + + mx + ny +p, fi (x, y) = x2 + y2 + mi x + m y + pi (cerchi), f(x, y) 
    fi (x, y) = (rn  mi) x -f (» ni) y + p  pi = 0 (p = 1) rappresenta la retta, che passa per i punti comuni ai due cerchi (asse radicale : sempre reale, sieno reali od immaginari i detti punti comuni).