. , LIMITI DELLE FUNZIONI E LORO APPLICAZIONI. 303
   estremi delle ordinate valori particolari della funzione, di cui non si ha l'espressione analitica; questa curva S potrà rappresentare il corso di una certa funzione espressa analiticamente (legge empirica), la quale sarà tanto più prossima all'espressione di quella incognita (che tradurrebbe, supposto ciò possibile, la legge razionale non determinata di un data fenomeno), quanto più prossimi saranno i punti, pei quali si è descritta la curva 2. *
   Così si possono rappresentare con una curva: la variazione del barometro in un dato periodo di tempo, prendendo come ascisse i tempi e come ordinate le altezze della colonna barometrica ('); la mortalità per una regione, facendo corrispondere le successive età al numero dei sopravviventi di ciascuna età, per i nati in uno stesso giorno (2); la classificazione della popolazione di uno stato per sesso e per età, in un data giorno, quando si correggano opportunamente con ipotesi giustificate o, si perequino i risultati grezzi del censimento (3); la popolazione maschile (4) o femminile (5) classificata per età in un dato regno ; ecc. Con una retta si può rappresentare approssimativamente il movimento delle nascite in uno stato : danno pure curve o leggi empiriche, che non stabiliscono l'esatta dipendenza fra variabile e funzione, l'anemometro, il mareografo ecc.
   Per avere dei punti intermedi di queste curve tracciate per m + 1
   punti, che hanno come indici le coppie note xo ed f(x0), xi ed f(xi),______
   xm ed f{xm) di valori della variabile e della funzione f(x), la cui natura è incognita, si può procederò nel seguente modo (metodo di interpolazione (165) di Lagrange):
   Supponendo che f(x) sia razionale ed intera, se, eccetto f{xo), tutti
   i valori dati f(xj), f(xi),.....f [xm) fossero zero, sarebbe f(x) divisibile-
   per x  Xi, x  xa, .... e quindi f(x) avrebbe la forma, indicando con k una costante (72):
   k (x  Xl). {x  Xi) .... (x  xm).
   Allora: f(xo) = k (xo  Xi) (x0 X2)____(xo  a:m); dunque, si ha
   l'identità (55)
   k=___
   (Xo -Xl),(Xo  Xì) .... (Xo -Xm)
   per cui ,
   f fò ^f{Xo) ^~XI)(X  Xi) .... (x  xm) _ (Xo  Xl) [xo  Xì) .... (xi,  xm)
   (!) Vedasi: Ferrini, Trattato di Fisica, pagg. 9-11, 401-403.
   (2) Si vegga il noto e pregiato lavoro, Théorie mathématique despiacements, ecc., pag. 215. (s) Annali di statistica, voi. 16, serie 3', tav. III. (J) Ibid. tav. VIII.
   (5) Ibid. tav. IX. Sono notevoli, a questo riguardo: negli stessi Annali, i lavori dei. Prof. A. Armenante e Rameri; e, nelle effemeridi astronomiche di Milano per l'anno 1867, lo studio del Prof. Schiapparelli, sul modo di ricavare la vera espressione delle leggio della natura dalle curve empiriche.