296 CAPITOLO, IV.
   2a. Trovare in quale intervallo od in quali intervalli reali può variare la funzione di due variabili z = ax2 + bxy + a/ + + dx + ey + f. Operando, come nel n. 175, sull'equazione ax2 + (by + d)x + (cy2 + ey + f z) = 0, si pone la condizione 5 {y)  {by + df  4a (cy2 + ey + f  z)> 0, nella quale è contenuta però la z: dopo ciò, è facile distinguere i diversi casi, che possono presentarsi.
   3®. Sapendo che n funzioni di n.  1 variabili hanno una
   somma costante s, determinare i valori delle variabili che
   rendono massimo il prodotto delle n funzioni. Basterà risol-.
   vere il sistema di equazioni simultanee, il quale si ottiene
    s
   considerando che allora ciascuna funzione è eguale ad  "
   4®. Sapendo che n funzioni di n  1 variabili hanno un prodotto costante p, determinare i valori delle variabili che rendono minima la somma delle n funzioni. Basterà risolvere il sistema di equazioni simultanee, che si ottiene conside-
   n_
   rando che allora ciascuna funzione è eguale a y'p.
   181- Coi metodi esposti, e specialmente con l'indiretto, si trovano anche i massimi ed i minimi delle funzioni di funzioni goniometriche, quando esse possano considerarsi algebriche in una delle funzioni goniometriche, che contengono. Molto spesso, sono necessari pure speciali artifici di calcolo.
   Esempi.  1°. tang x + 3 cot x. Posto tang x + 3 cot x = y, si Iia tang2« ytanga; + 3=0. Quindi ® (y)=y*  12=(jr  2fì,){y+ y' =  2 y 3 massimo, y'  2 V 3 minimo. Il valore di tang x, corrispondènte al minimo, è tang:£== -= v''3, essendo 8(y')=0; limitandosi
   ad archi compresi fra 0° e 90°, si ha per l'arco x, in corrispondenza al minimo : x = 60°.
   2°. Per trovare il' massimo di (r  r' cos a) cos x + r' sen a sen x,
   [Y , ij*' COS OC -;- cos X +
   r sen a
   1 . , i r'cosa , , . , , fcos X + sen x I: quindi, ponendo  ;-= cot X, si ha: r sen a I--.
   J ^ r r' sen a ,.sen X
   ], cos X cos x + sen X sen x r' sen a
   = r sen a---  ------r cosi a xi.
   sen X sen X
   Il massimo di quest'espressione, poiché è costante, corrisponde
   al massimo di cos (X  x), che si ha per x  X, e quindi allorché cot x ==
   _r  r' cos a
   /" ' sen a