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   CAPITOLO, IV.
   ogni valore di x, che faccia assumere ad /a (x) il valore zero, dà un massimo od un minimo di f(x), secondo che fi(x) diviene positiva o negativa (diversa da 0): come si vede subito.
   La quistione è quindi ridotta a ricercare i valori di x, che rendono zero fi (x), i quali abbiamo determinato prima in alcuni casi particolari (74) e poi sistematicamente (Cap. Ili) per speciali tipi di fi (x).
   Con questo procedimento, si perviene facilmente al risultato nell'esempio 5° del n. 173.
   178. Anche qui spesso, specialmente trattandosi di funzioni irrazionali, gioverà valersi dell'innalzamento a potenza, ed anche di opportune posizioni, per ottenere i massimi ed i minimi, quale si sia il metodo di ricerca che poi si segua.
   /p2 ifftZ , i i_ fYlOC^ X ttl^ i QQ^
   Esempio.--- ---. Trascurando il fattore
   j «r
   costante  5, si ponga rn1  a;2 = m2, donde x1 = m-  u1. Si avrà allora m
   sostituendo : (m2  it2) (w2 -f mu)  (m + «)2 (m  u) u: che è un prodotto di quattro fattori lineari, dei quali due eguali.
   179. Per richiamare i diversi metodi (*) di ricerca dei massimi e minimi di una funzione, applichiamo gli stessi metodi ad un esempio semplice:
   f (x)  {2x  3) (2  x).
   i1) Talora, nella ricerca elementare dei massimi e minimi, giova un procedimento speciale (metodo di Fermai), che si basa sul teorema seguente:
   Due valori vicinissimi y0, yj di una grandezza variabile y, fra' quali sia compreso un valore massimo 0.minimo ym di y, possono riguardarsi come eguali. Infatti, per quanto si disse in questo § 5, la y, variando, cresce sempre da y0 ad ym e poi decresce con continuità da ym sino ad un valore ym  ht ove si indica con h una quantità finita ; quindi, fra ym ed ym  h deve necessariamente trovarsi un valore di y tale che sia ym  yi = ym  y0. ove ym  y0 è un infinitesimo ; e perciò si ha y0 = y1.
   Risulta pertanto la regola : Considerata la grandezza variabile in due stati vicinissimi, si esprima che essa ha lo-stesso valore in questi due stati: interpretando opportunamente l'eguaglianza così risultante e considerandola nel limite, in cui i due stati si confondono, si ha una proprietà caratterizzante la grandezza variabile nel suo stato di massimo o di minimo.
   Esempio.  Dato un punto P nel piano di un angolo XOY, condurre per P una secante AB tale che stacchi dall'angolo XOY un triangolo XAB di area massima. Se A'B', A'B' sono due posizioni vicinissime della secante, fra la quale sia compresa la posizione AB corrispondente al massimo, per il principio precedente possiamo considerare come equivalenti i due triangoli A'OB', A'OB' ; perciò, sono equivalenti anche i triangoli PA'A', PB'B' 6 si ha PA' X PA' = PB' X PB' per l'eguaglianza degli angoli al vertice. Nel limite: PA' = PA' = PA, PB' = PB' = PB; donde PA2 = PB*, ossia PA = PB. Adunque, la posizione della secante che dà un triangolo di area massima o minima e caratterizzata dalla proprietà di segare i lati dell'angolo in punti equidistanti dal vertice.
   Evidentemente, in questo esempio, si ha un massimo; ma il metodo di Fermat, nelle applicazioni elementari, non presenta il modo di riconoscere se trattasi di un massimo o di un minimo.