. , LIMITI DELLE FUNZIONI E LORO APPLICAZIONI. 293
   '¿onde pi  % X, Pà = " Sostituendo nella (1. si ottiene l'equa-
   . b  x b + x
   ci ~~f- 27 ct , x
   25JOÌIO m x, 2  - ^ + ^ = da cui si ricava la quadratica 2x2 +
   7,2 n a 1 u " - 0 +Vn2+ 8è2  a ]/a2+8b2
   + ax  b  0. Questa ha le radici------------
   4 ' 4
   entrambe reali (a2 -t- 8b2 > 0), evidentemente una positiva e l'altra negativa. Può darsi che, per la natura della quistione trattata, qualcuna di queste radici non corrisponda ad un massimo.
   2°. x (3  2x) (x  4). Moltiplicando i due primi fattori rispettivamente per pi e pa ed effettuando la somma dei tre fattori, risulta: (pi   2p2 + 1) x 4- (3pa  4). Affinchè questa somma sia costante, pi - 2p2 +' -(-1=0.... (1 : ciò essendo, si avrà pi x = 3p2  2p2 x = x  4, donde
   x 4 x 4 .,,,,.. x  4 2(ar  4) p,  , P2 = g ^ ; per cui, la (1 div>ene  --3 ^- 4-
   2
   -)- 1  0. Da questa : Sx2  Ila; -f- 6 = 0, che ammette le radici 3 e  .
   o
   Per x  3, la funzione data assumo il valore 9, che è un massimo: si
   può constatare, che il valore  ^^ assunto dalla funzione per x  -g è un
   . . ¿ii o
   minimo.
   177. Ove si sappia scomporre una funzione, intera in fattori lineari (74), se ne possono determinare subito i massimi ed i minimi nel modo seguente (metodo infinitesimale: si applica, quale si sia il numero dei fattori).
   Data f(x) = (a-i.00 4- h) (a2x -f b2) (asx + bs), si ricava: f(m 4 5) = («im 4- «iS + bi)(a2m + «2o 4- h) (a3m 4- ff.iò 4- ¿3) =  [(aim 4- ii) 4- ai 5] [(a2m + b2) 4- aa8] [(a3m 4- ¿s)+«s 8]=(fi»»+bi). . (aa m 4- ¿3) (a3 m + b3) + [ai (a2 m 4 b2)  % (»3 m 4- b3) 4- a2 (a3 rn + bs). .(atm + ¿1) 4- a3(axm 4- bt). (a2m 4- b2)\ 3 4- [(aim + bi)a2a3 4-4(a2m 4- è2)«3fli + (a3m 4- ¿3) «1 aa] S2 4- aiaaa383.
   Donde : f (m+8) f(m)=[a! (a2 m 4- b2) (a3 m 4 b3) 4- a2 (a8 m 4-+ bs) (at m+bi) + a3 (ai m 4- ih) (a2 m 4- 52)] 8 4- [(ai m 4- ¿>1) aa a3 4-4' (a2m 4- b2) a3ax 4- (a3m 4- b3) «ia2] 82 4- aia2a383.
   Ora, essendo 8 un infinitesimo, se per x = m si ha un massimo od un minimo, dovrà risultare f{m 4- 8)  f(m) rispettivamente negativa 0 positiva, sia 8 positivo 0 negativo; perciò, sarà (154) identicamente zero il coefficiente di 8, cioè, per x  in la funzione (quadratica) fi (a?) = ax (a2x 4- b2) {a3x 4-+ bs) -f a2 (a3x 4- b3) (atx 4- 61) 4- a3 (aia; 4- Ih). (a2x 4- b2) assumerà il valore 0: quando ciò avvenga, si ha un massimo od un minimo, secondochè per x = m la funzione f2 (x) = = ai aa (a3x 4- ò8) 4- a2a3 (ai x + bi) + a3 ax (a2x 4- b2), coefficiente di §a, assume un valore negativo o positivo (172). E viceversa,