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   CAPITOLO, IV.
   ' 175. Dietro la definizione data nel n. 172, se per x = xm la funzione f(x), che indicheremo con y, assume un valore massimo (minimo) ym, considerando due punti xh, xk abbastanza prossimi ad xm, l'uno a sinistra e l'altro a dritta, mentre x cresce da Xh ad 3/ra la funzione cresce (decresce) da f(xh ) ad ym ed invece, mentre x continua a crescere da xm ad xk, la funzione decresce (cresce) da ym ad f(a;k). Pertanto, se si considera come variabile la y e come funzione la x, ad ogni valore di y abbastanza vicino ad ym e minore o maggiore di ym, secondochè ym è un massimo od un minimo, corrisponderanno per la x due valori (reali) xb ed xk, l'uno minore e l'altro maggiore del valore xm corrispondente ad ym e tali che tendano entrambi ad xm, mentre y tende ad ym.
   Segue da ciò che, data una funzione / %(#), di cui si desidera il massimo ed il minimo, e posto f[x) = y, se da questa si può ricavare un'equazione intera di 2° grado in x, E (x, y) = = cpi (y). x2 + cp3 [y) " oc + cp3 y = 0, un valore massimo o minimo di y (astraendo dagli intervalli di discontinuità) dovrà essere radice dell'equazione in y, 8 (y) = 0, ove 8 è il discriminante cpaa  4cpx di F; perchè solo le radici di d(y) danno valori eguali per x (radici di F): ed una radice ym di 5 sarà un massimo od un minimo, secondochè xh ed xk sono reali per valori di y minori o maggiori di ym (Cap. Y).
   Pertanto: r , >-,
   a) Se 8 (y) è una funzione lineare my + n = m I y  i  j I,
   sarà la radice  ~ un massimo, quando m è negativa, ed
   un minimo, qui/ndo m è positiva; perchè, come è noto, my -1-
   fi
   -hn>0 è soddisfatta da valori minori o maggiori di   , secondochè m > 0.
   b) Se 8 (y) è una funzione quadratica ay* -f by + c, secondochè b2  4ac 0, essa ha due radici reali y\ y' iy' < y'), una radice doppia y, nessuna radice reale. Nel primo caso (è2  4ac>0), quando a> 0, tutti i numeri dell'intervallo ( oo, y') e quelli dell'intervallo (y', + oo), y' ed y' esclusi, soddisfano l'inequazione 8 (y) > 0; ed invece, quando a < 0, sono radici dell'inequazione o (y) > 0 solo i numeri dell'intervallo [y, y'), esclusi gli estremi: quindi, essendo //   4«c>0, y è un massimo ed y' un minimo ovvero y un minimo ed y' un massimo, secondochè a < 0. Nel secondo