. , LIMITI DELLE FUNZIONI E LORO APPLICAZIONI. 287
Ove si sappia che una funzione è continua od in generale continua e si possa facilmente intuire, per la natura della funzione, il corso di questa, la determinazione dei massimi e minimi si fa contemporaneamente allo studio della variazione: si suole dire che i massimi ed i minimi vengono allora determinati col metodo della variazione o metodo diretto.
Data una funzione f{x,y,____) di più variabili, si può
esaminarne, come per le funzioni di una variabile, la variazione, nell'ipotesi che x, y,____ assumano contemporaneamente successioni di valori, continue o discrete, ed in base ai numeri che precedono: allora, lo studio della variazione è più complicato e maggiore il numero delle particolarità, che possono presentarsi.
Esempi. Io. f(x) ax + b a\x (--1 1: ora, mentre x varia
b L \ o/J è
da oo a--, f(x) ha il segno di a; quando x =--, f(x) è iden-
a a
ticamente zero; dopo questo valore, la funzione cambia segno (162),
perchè, variando x da a + oo>, f{x) assume il segno di + a. Per-
' ( b\ tanto, se <*< 0, f{x) decresce da + oo ad f ( j = 0, e da questo
valore a oo ; viceversa, se a > 0 : non si ha nè massimo, nè minimo (172). E f(0) b.
2°. f(x) = ax2 4- bx + c. Si ha sempre f(0) = c. Inoltre, è noto (74 e 114) che: se b2 4ac ~> 0, f (x) assume il valore zero sì per xi =
b 4 V&2 4ac , è Vi2 4ac .
= --^-, che per xi - -^-; se invece b'
2 a 2 a
4ac=0, f{x) diviene zero per xi =xi quando poi b2 4«c<0;
¿a
f(x) non assume mai il valore 0 per alcun valore reale della x.
J2_ 4ac / J) \ 2
Ora, avendosi (74) f[x) -- --f- a Ix -f -g-) , per ogni valore di x appartenente all' intorno di evidentemente jx 4- J^j > 0 ; e quindi, per tutti i punti dell'intorno di :
(7, \ 2 hi_4ac 52_4ai
x+2«) sr-'Percui 4
è un minimo di f (x), negativo, nullo 0 positivo secondochè b2 4ac =0;
/ J \ 2 J2 _ 4ac
2°) se invece a < 0, a x 4- 75- < 0, f(x)<---,-, e per
52_4ao \ àaj ia
conseguenza--^-è un massimo di f[x), positivo, nullo 0 negativo secondochè b2 4«c = 0.
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