. , LIMITI DELLE FUNZIONI E LORO APPLICAZIONI. 285
   fissi, le quali valleranno pure con continuità, e si potrà ricercarne eziandio i massimi ed i minimi (assoluti o no).
   Quando in particolare le grandezze sono geometriche, è facile dimostrare le seguenti proprietà, analoghe a quelle del n. 172, studiando la variazione delle figure (potrebbero pure dedursi dalle corrispondenti del n. 172 relative alle misure) :
   1'. Nel piano. Fra' rettangoli di perimetro costante (isoperimetri), il massimo è il quadrato. Infatti f1), essendo AB + BC + CD + DA=2j>, sarà ' AB + BC =p  cost.: ora, se si prende BD = BC e si descrive il semicerchio di diametro AD, è noto che il quadrato BFGE costruito su BE è equivalente al rettangolo di lati AB e BD = BC ; quindi lo studio della variazione del rettangolo ABCD si riduce a quello della variazione del quadrato di lato BE. Ma evidentemente, mentre B va da D ad A, il quadrato BFGE prima cresce e poi decresce, colla semicorda BE, assumendo il suo massimo valore, quando la semicorda è il raggio OH: dunque, il massimo del rettangolo ABCD corrisponde alla posizione 0 di B, per la quale AB = BC = OH.
   In generale: fra'poligoni isoperimetri dello stesso numero di lati, è massimo il poligono regolare (ordinario) (2).
   Nello spazio. Fra' parallelepipedi, pei quali è costante la somma delle tre dimensioni, è massimo (in volume) il cubo (172, a)).
   2'. Nel piano : fra più rettangoli equivalenti, ha minóre perimetro il quadrato; ed in generale, fra'poligoni equivalenti e dello stesso numero di lati, ha perimetro minimo il poligono regolare (ordinario) (2).
   Nello spazio : fra' parallelepipedi equivalenti, per il cubo è minima la somma delle tre dimensioni (172, b)}.
   3a. Di tutti i rettangoli equivalenti alla somma di due quadrati dati (che hanno, cioè, la stessa diagonale), è massimo il quadrato (172, a) 2°).
   4*. La somma di due quadrati, equivalente ad un rettangolo dato, è minima, quando i quadrati sono equivalenti.
   5a. Fra tutti i parallelepipedi rettangoli, che hanno la stessa superficie totale, è massimo il cubo (n. 172, «)).
   Con queste proprietà in Geometria, come in Algebra, si trattano non poche questioni di massimi e minimi, per la ricerca dei quali la Geometria si vale ancora di altri mezzi (soluzione limite, considerazione di una o più grandezze variabili come costanti, uso della tangente). Ma, trattandosi di quistioni relative a misure (lunghezze, aree, volumi ecc.), anche in geometria è più semplice valersi del metodo algebrico : lo studio della variazione della figura geometrica giova specialmente a vedere, se trattasi di massimo ovvero di minimo.
   174. Quando si potesse conoscere la successione di valori (variazione, corso, cammino (45)) di una funzione reale f[x),
   (1) Lo studioso faccia la figura.
   (2) Pappo: v. Bàltzek, Planimetria, § 15. Vedasi anche l'Appendice V al volume II della mia Oeom. deaeriti, elem.