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. , LIMITI DELLE FUNZIONI E LORO APPLICAZIONI. 283
Infatti, poiché xixtxz è costantemente positivo, il suo massimo si ha nello stesso tempo che il massimo di (xix-ìxi)2: essendo (X1X2X3)2 = (xi x2). (xi x3). (xì xì) ed avendosi per ipotesi x\ Xi + x\ xì + xn xs = s, il massimo di (xi x-i Xì)2 si avrà (comma a) ) quando xi xa = xi xi = xi xs, ossia quando xi Xì = x%.
f) Se la somma di due archi positivi x, y è una costante 2oc minore di n, il prodotto dei loro seni è massimo quando gli archi sono uguali.
Infatti, essendo 2 sen x sen y = cos (x y) cos (x 4- y) cos (x y) cos a, il massimo del primo membro corrisponderà al massimo di cos (x y), che è 1 e si ha quando gli archi sono uguali (essendo essi minori di 7i).
Si può estendere il teorema ad un numero qualunque d'archi variabili: anche cosi generalizzato, il teorema è vero per la somma eguale a Jt.
g) Se la somma di due archi positivi x, y è una costante 3
TU
minore di ^ , il prodotto delle loro tangenti è massimo quando gli archi sono uguali.
Infatti, essendo
cos (a; «) cos P cos (x y) + cos P 2cosB
tang x . tang y = -^-- =----p-- ^- !- =
cos (x y) + cos p cos (x y) + cos p
__2 cos P
cos (P 2x) + cos p ' il primo membro sarà massimo quando risulterà tale cos (P ìx) -f cos p, ossia quando cos (p 2a:) = 1; nel qual caso, p 2x = 0, e
P 2
quindi anche y = -jr.
ù
Questo teorema, come il precedente f), è vero anche quando la somma it
degli archi è uguale a e si può estendere ad un numero qualunque di fattori.
Osservazione. Nei teoremi precedenti, si suppone che
i numeri variabili oclt ____possano assumere valori eguali:
ma può avvenire, ad esempio in problemi di applicazione dell'Algebra alla Geometria, che qualcuno dei numeri variabili per dato, in conseguenza di significati speciali, debba essere maggiore di uno 0 di più dei rimanenti numeri, come si è già osservato nella nota del comma a) precedente; ed allora i teoremi precedenti di massimo e minimo, che implicano uguaglianza dei numeri in questione, non possono applicarsi.
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