282 CAPITOLO, IV.
   2°. La somma xmi + xr,-> di due numeri positivi, tali clje X1X2  p,
   m+n m-f-n
   minima
   quando xi  1/ , xi = 1/  -: infatti, essendo xi =
   fi» f n
   =  , si avrà + ass' = xim -f  fai): e poiché (xim)a ( ) =
   _ x\ p W 7
   = pm = cost, sarà per il corollario precedente xim H  minima, quando
   m -}-
   Xim p , , , , np .
   -= " --, ossia mximT*  np, donde «im+n =  ed xi
   n mx in + ' hì
   l/if  % r  %»» '
   a*2 =  - = -= 1/  --. Quindi il minimo della somma
   1/ «p f »M f »MJpm+u .
   m f n \ m /in 4 n
   + ÌK2n
   In particolare, per m = » = 2, si ha a;i = ^p, Xì  p^p; per m =  n 1, xi=xi==\p (comma 6) precedente).
   c) La somma xt + di due numeri positivi xit x^ tali, che la somma x\ + x\ dei loro quadrati sia una costante //, è massima, quando i due numeri sono eguali.
   Infatti, per l'ipotesi ora fatta, l'identità 2 (x\ + x\)   % (xi + xi)2 + 4- (xi  x%)2 dà: (xi -f xì)2 = 2k2  (xi  xa)2. Il massimo di xi + xì, per ciò che precede, ha luogo contemporaneamente al massimo di (xi +xi)2. Ora evidentemente (xi + a^)2 è massima, quando (xi  xa)2 è minima, k f2
   ossia quando xi = xì = ~~
   a
   Come nei commi a) e b), si generalizza facilmente questa proprietà; pertanto: la somma di più numeri positivi, tali che la somma dei loro quadrati sia costante, è massima, quando tutti i numeri sono uguali. -
   d) La somma x\ + x\ dei quadrati di due numeri positivi X\, x% tali, che la loro somma x% + x2 sia una costante s, è minima, quando i due numeri sono uguali.
   Avendosi, come in c), 2 (xi2 + xi2) = s2 + (.ri  xì)2, si vede che il minimo ha luogo quando x\ xt = "
   u
   Come nei commi a) e b), si generalizza facilmente questa proprietà; perciò: la somma dei quadrati di più numeri positivi, tali che la loro somma sia costante, è minima, quando tutti i numeri sono uguali.
   e) Il prodotto di tre numeri positivi tali, che hi somma dei loro prodotti presi a due a due sia una costante s. e massimo, quando i tre numeri sono uguali.