280 CAPITOLO, IV.
   si s\2 s2 ! a\2 s2
   l'intorno di r  2') >° ed 4 ~ r~ 2/ <-4' ^GÌÒ Poteva Pure
   ricavarsi dal teorema 57, f)).
   In generale (*): il prodotto di più numeri positivi Xi, x*,...., xn di data somma s è massimo, quando essi sono eguali.
   Perchè, se ad esempio Xh < , si avrebbe per il caso precedente
   ^Xh + Xt Xh + Xk . ,
   XkXk <-2'- " -2- 6 1Um XlX'i ... . Xh Xi .J . . XB    Xh + XI Xh + Xk . , . , Xh + Xl .
    Tp --g ----Xh, mentre xi + x2 +-----1--^--b----+
   a;» + xi
   4--2--b .... +Xn  Xi +Xì T .... + Xh + .... + .... + a; = s.
   t, . , ^¡Xi+Xì +----+a;D\n . -
   Pertanto: xix-i .... xn - , ossia Xi x-i.... x* <
   /s\° - \ n !
   < 1 1 . (Siffatta generalizzazione del teorema 57, f) poteva ottenersi
   subito, anche direttamente col metodo di conclusione da m ad m + 1). Segue da questa proprietà che:
   1°. Il prodotto x\ x\ .... xTu (h, k, ...., r interi e positivi), se costantemente Xi + Xì +____+ xB  s, è massimo, quando ~____
   fi fC
   = ^(2): infatti, x\x\____xT è massimo quando è tale ^J
   ----» 6 poiché la somma dei fattori di quest'ultimo prodotto è
   ~~ h + ~ k +" " " " +  r = xi + x? + ... + Xh = s, esso (e quindi
   fi fc V
   anche il primo) avrà il suo massimo valore, quando i fattori sieno eguali,
   J j n " 2- in ni Xl+Xl+....+Xn Xl . Xl S
   c.d.d. Quindi (57,b)): _ , - ,---= , cioè =- --,
   v ' h+k + .... + r h' h h + k + . ...+r'
   donde xi = ^ ^  - - ; analogamente si ottengono xt,.....xa
   (divisione di s in parti proporzionali ad h,k...... r).
   2**11 prodotto xi xì di due numeri positivi, tali che xim + xin = s
   * (m, n interi e positivi), è massimo, quando xim =-, xi' =-:
   m + n m + n
   infatti, se xixì è massimo, è massimo anche (xix2)m, = {xim)n{xai)m;
   l1) Questa proprietà, perchè possa applicarsi, «sige che i numeri variabili non sieno soggetti a soddisfare, oltreché alla ar, -f- -4-,... -f- xa  cost. anche ad equazioni, ad Inequazioni ed a relazioni miste, le quali impediscono loro dì divenire eguali.
   .(*) Si applica il teorema generale, che precede, malgrado i numeri variabili sieno assoggettati, oltreché alia condizione della somma costante, anche alle condizioni di
   essere h eguali ad ~, k. uguali ad "! ecc.; ma deve osservar»! che queste condizioni
   non vietano che i detti numeri ppssano essere eguali fra loro.