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   CAPITOLO, iv.
   sitile quando b contiene fattori primi diversi da 2 e da 5 ovvero contiene 2 e 5 a potenze diverse.
   Dunque, essendo in generale irrazionali, i logaritmi volgari si potranno calcolare con una data approssimazione (per mezzo di limitazioni) (8): ciò si fa in un modo semplice (metodo di Long) calcolando successivamente «,-VlO, xi  ixi, xs  Ì~xz______ i cui logaritmi sono
   0,5000000, 0,2500000, 0,1250000...... e quindi dividendo il numero
   dato m, del quale si vuole il logaritmo, per la prima Xh delle radici calcolate tale che Xh <. m, il quoziente ottenuto (con approssimazione) per la radice xt immediatamente ad esso inferiore, e così continuando ;
   sicché, m = Xh. xt  e log m  log Xh + log xi +_____ ove i logaritmi
   del secondo membro sono noti. In seguitò, vedremo un altro modo di effettuare questo calcolo, mediante le frazioni continue ; ma, nell'Analisi Superiore, si apprendono metodi più spediti, coi quali sono state appunto costruite apposite tavole di logaritmi.
   Pertanto, i logaritmi decadici consteranno, in generale, di una parte intera, che chiamasi caratteristica, e di una parte decimale (approssimata) detta mantissa. Devesi osservare che (essendo sempre b positivo) :
   1°. Se b è intero, è positiva sì la caratteristica che la mantissa del suo logaritmo; e la prima contiene tante unità, quante sono le cifre di b meno una, poiché, se b ha r cifro, esso è compreso fra 10r_1 e 10r, per cui il suo logaritmo sarà compreso fra r  1 ed r.
   2°. Se invece b è minore di 1 ed espresso come numero decimale, la caratteristica è negativa e contiene tante unità, quanti sono gli zeri precedenti la prima cifra significativa, mentre la mantissa è positiva; giacché si conviene di prendere il complemento ad l della mantissa di log 6, per se stessa negativa come la caratteristica, e poi togliere 1 : in conseguenza di che, il logaritmo si presenta come un binomio. Così, essendo 0,001 > 0,0003 > 0,0001, cioè IO'3 > 0,0003 > IO'4, sarà  3 > log 0,0003 > 4; sicché, log 0,0003 avrà la caratteristica negativa  3 ed una mantissa negativa  m: ma, aggiungendo e togliendo 1 e poi trovando il complemento 1 m  + m', log 0,0003 avrà la caratteristica  4 e la mantissa positiva m', che è 0,4771213. Si suole anche scrivere log 0,0003 = 4^4771213.
   3°. Se poi b è un numero misto, calcolata la caratteristica della parte intera nel modo detto per il caso 1°, si può cancellare la virgola e calcolare la mantissa del numero risultante : perchè, essendo (comma b) 1 °) log (b. 10k) .= log b k (k intero e positivo), si vede che k, combinato con la caratteristici di log b, non ne altera la mantissa ; ossia, due numeri, il cui rapporto è una potenza di 10 con esponente intero, positivo e negativo, hanno una mantissa positiva e differiscono solo per la caratteristica. Ciò spiega anche il procedimento tenuto nel caso precedente. Così log 7835, 43 = 3 + mantissa log 783543 = 3,8940628.
   4°. Quando, infine, b sia espresso come frazione ordinaria, si può ridurre in frazione decimale (casi.2° e 3° precedenti) ovvero si applica la proprietà 2' del comma