. , LIMITI DELLE FUNZIONI E LORO APPLICAZIONI. 267
   Conseguenza immediata dei noti tooremi, sul calcolo delle potenze con esponente qualunque (156), sono le note proprietà dei logaritmi:
   . 1») log« (Ma.... bn) = log» òi + log» ba +----+ log» bn -
   2S) log» y  log»  log» b2-, in particolare, log» ^ =
    log» b C). i
   3a) log bh = h log» b ; in particolare, log» V bh = log» bh.
   c) Se x in a1 (o> 0) assume come valori quelli del gruppo in progressione aritmetica -f-____,  3d,  2d,  d, 0, d, 2d, 3d.....<
   i valori di ax costituiscono la progressione geometrica -rr.....a-34, a-24,
   a-4, a0, a1, a24, a3'1, .... , che ha per ragione ad; quindi, come è noto, i termini di una progressione aritmetica, avente per differenza d sono logaritmi, in una base a (a > 0), dei termini d'una progressione geometrica, la cui ragione è il numero di logaritmo d nella baso a. Reciprocamente, date due progressioni
   -H-.... , q~3, q~2, q-1, q«, q\ q\ q3......(j>0);
   4..... 3d,  2d,  d, 0, d, 2d, 3d,....(d^ 0),
   i cui termini si corrispondono in colonna, nell'ordine in cui sono segnati, i termini della, progrossione aritmetica sono i logaritmi di quelli della
   progressione geometrica nella base q 4 ; perchè in generale, 4 )r~h'i)= = g±h. E ciò si verifica anche, se si inseriscono fra' due termini conse-
   m+_l_
   yQh 1
   , li(m+i)-m h(m+l)-(m-l) li(m+Q-l ^
   gh-i  q m-t-i , q m+i ,...., q m+i ; e, fra tutte le coppie di termini corrispondenti (h 1) d, hd, anche (41) m medi (aritmetici)
   + + 1 Mm+ 1)- (»-!).....
   «i + l m + 1 m + 1
   - ^m  - d: come vedesi chiaramente.
   ni 1
   d) Si sa che per le applicazioni è specialmente importante il sistema di logaritmi nella base 10 (Briggiani, decadici, volgari): indicando il logaritmo, la base 10 si suole sottintendere.
   In questo sistema, solo le potenze di 10, positive o negative, hanno logaritmi interi, positivi o negativi (gli esponenti delle potenze) : i logaritmi di tutti gli altri numeri sono irrazionali, perché, se fosse log h =
   h 
   = y (h e k interi), si avrebbe 10k=b, da cui (55): 2h.5h=6k; la quale
   K
   identità per b frazionario è impossibile sempre, e per b intero è imposti Alcuni autori usano la denominazione cologaritmo, per indicare il logaritmo di un numero preso negativamente: ma ossa ne chiarisce, nè semplifica (Visalli e Mandes. pag. ,H5, n. 166).