266
   CAPITOLO, iv.
   Pertanto, mentre x cresce con continuità (46) da  co a 0 e poi da 0 a + oo, la funzione ax :
   1°) se a > 1, cresce da 0 ad 1 e poi da 1 a + oo ;
   2°) se 0 < a < 1, decresce da -f co ad 1 e poi da 1 a  co : assumendo in entrambi i casi, in un senso o nell'altro, tutti i valori razionali ed irrazionali compresi fra 0 e + oo (positivi). E, viceversa, ad ogni numero positivo (razionale od irrazionale) considerato come valore della funzione ax (a > 0) corrisponde uno ed un solo valore di x; perchè, essendo a* continua, anche la sua inversa è continua (163).
   b) Dati due numeri reali e positivi a e b, dei quali inoltre sia a < 1, chiamasi logaritmo di b nella base a un numero m tale che sia identicamente «m = Z>; e si scrive m = log« b: donde l'identità aIog»6 = b.
   Discende dal comma precedente a) che, sempre quando sussista l'ipotesi a > 1 ovvero 0 < a < 1 fatta in questa definizione, ogni numero positivo b ha sempre un logaritmo (reale) ed uno solo in una data base.
   Ammessa l'esistenza del logaritmo dietro il comma a), la sua unicità si può anche assodare osservando che, se esistessero due logaritmi m ed m' per b e quindi si avesse identicamente om = b, a'''  b, sarebbe (55) nm-m' = ia quale identità non può sussistere, essendo a ^ 1 ed m   m' ^ 0 per l'ipotesi.
   Se il numero dato b fosse negativo, non potrebbe avere logaritmo (reale); giacché, per le proprietà note delle potenze, quando a è positivo, qualunque potenza reale di a è pure positiva. Nell'Analisi Superiore (47) si considerano anche logaritmi di numeri complessi con base reale o complessa.
   La ricerca del logaritmo di un dato numero in una data base suolsi chiamare estrazione di logaritmo: è l'unica operazione inversa dell'elevamento a potenza con esponente qualunque; mentre, se si considera l'elevazione ad esponente intero, sono sue operazioni inverse l'estrazione di radice e la ricerca del logaritmo. L'insieme dei logaritmi di tutti i numeri in una data base si chiama sistema di logaritmi.
   Se a > 1, per il teorema precedente si ha (ritenendo co come un numero (33)):
   1°) log. 1=0, log. a = 1, log»0 =  co, loga (-f- co) = + oo;
   2°) i numeri maggiori di 1 hanno logaritmi positivi, quelli minori di 1 negativi;
   3°) secondochè b^b', è log b = log b\ e viceversa.