. , LIMITI DELLE FUNZIONI E LORO APPLICAZIONI. 265
   164. Se f(x) è continua nell'intervallo (m, n), per cui non ¿¡viene mai infinita in alcun punto dello stesso intervallo, ed sono valori compresi in questo, ponendo x2
   = h ed x3  xt = k, donde x2 = xx + h ed x3 = xt + k,
   sarà HmfJ^LR^fM = lim0^±A=zfM, quand0
   h=o_ h t=0 A; H
   quésto limite sia finito e determinato; ossia,
   ,im f(x2) f(x t) = ]im f{xa)--f(xi) _
   S4=xj - ''-'l 13 TI X3-Xx
   Adunque, con un errore determinabile in ogni caso e tanto più piccolo, quanto più piccoli sono gli incrementi della varia-
   bile, si avrà = da cui ffi^Z^fcì =
   4  xx Va  Vi X3  X1 f(^)~f(-7:i)
    - [regula falsorum dei successori di Diofanto o di
    x±
   falsa posizione).
   Applicazioni.
   165. a) La funzione a1 (trascendente esponenziale (47)), essendo a > 0, per ogni valore reale di x assume un valore reale determinato, giacché:
   1°) se x è un numero intero e positivo m, è noto che am = = a . a .... a;
   'ì- 1 2 m m m n_
   2°) se invece x è una frazione positiva  ,  Ìam ha
   sempre (14) un valore reale e positivo (radicale aritmetico), che assumiamo appunto per il valore di a1 in questo caso; 3°) se poi » è un numero razionale negativo (intero o
   frazionario)  h, a~h = ;
   4°) e se infine x è un numero irrazionale k, si assume per il valore di ak il limite cui converge a1 (156). Risulta da ciò Chiaramente che, quando a > 1, a* assume valori maggiori o minori dell'unità, secondochè x < 0; e viceversa, quando a< 1. In particolare: se a > 1, ar' = 0, a0 = 1, a' = oo; se a < 1, a- = oo, a° = l, a» = 0 (155).
   Inoltre, essendo sempre a > 0, ax è una funzione continua: ed in vero, se l'incremento della ai è h, quello della funzione (49) sarà aI+h  a1  a* (ah  1); ma a* è indipendente da h ed ab converge al limite 1, e quindi ah  1 al limite 0, quando h tende a zero; dunque, l'incremento della funzione a% è infinitesimo, quando è infinitesimo l'incremento della x.